4. На экране игрового автомата появляется натуральное число n. За один ход его можно заменить на число, равное произведению ab, где a, b – любые натуральные числа, для которых a+b=n. Предложите стратегию ходов, при которой на экране окажется число 439, если первоначально n = 13.

Давай разберем эту задачу. Суть операции такова: мы разбиваем число $n$ на сумму двух множителей $a$ и $b$ ($a+b=n$), а затем заменяем $n$ на их произведение $a \cdot b$. Важный момент: при разбиении числа $n$ на два слагаемых $a$ и $b$, максимальное произведение $a \cdot b$ получается, когда слагаемые максимально близки друг к другу. Однако, нам нужно получить число 439. Давай проанализируем, какие числа можно получить. 439 — это простое число. Посмотрим на операцию: $n \to a(n-a)$. Это парабола, направленная ветвями вниз. Значение функции $f(a) = a(n-a)$ при натуральных $a$ всегда будет меньше, чем $(\frac{n}{2})^2$. Если мы начнем с $n=13$, максимальное число, которое мы можем получить за один ход, это при $a=6, b=7$ (так как $6+7=13$), тогда $6 \cdot 7 = 42$. Теперь у нас число 42. Максимальное число, которое можно получить из 42: $21 \cdot 21 = 441$. Мы близки к 439, но нам нужно ровно 439. Возможно ли получить 439? Заметим, что если мы получили число $n$, то следующим числом будет $a(n-a)$. Заметим, что $n - a(n-a) = n - an + a^2 = n(1-a) + a^2$. На самом деле, если число $n$ больше 4, то $a(n-a)$ при $a \ge 2$ (так как $1(n-1) = n-1$ не увеличивает число, кроме случая с 1) может увеличиваться или уменьшаться. Но 439 — простое число. Его нельзя получить как произведение $a \cdot b$ двух натуральных чисел, кроме $1 \cdot 439$. Это значит, что чтобы получить 439 на следующем шаге, нам нужно иметь на экране число $n$ такое, что $a+b=n$ и $a \cdot b = 439$. Но так как 439 простое, то $a$ должно быть 1, а $b$ должно быть 439. Тогда $n = 1 + 439 = 440$. Можем ли мы получить 440? Мы видели, что из 13 можно получить 42. Из 42 можно получить 441 (если $21 \cdot 21$). Из 441 можно получить $440 \cdot 1 = 440$ (так как $440+1=441$). А из 440 можно получить $439 \cdot 1 = 439$ (так как $439+1=440$). Стратегия: 1. $13 \to 6 \cdot 7 = 42$ 2. $42 \to 21 \cdot 21 = 441$ 3. $441 \to 440 \cdot 1 = 440$ 4. $440 \to 439 \cdot 1 = 439$ Ответ: 13 -> 42 -> 441 -> 440 -> 439