3 sin^2 x - sin x cos x - 2 cos^2 x = 0

Решим однородное тригонометрическое уравнение: $3\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$ 1. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ не может быть 0, уравнение не обращается в ноль). $3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$ $3\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$ 2. Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение: $3t^2 - t - 2 = 0$ Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$ $t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ 3. Вернемся к переменной $x$: а) $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\tan x = -\frac{2}{3}$ $x = \arctan(-\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = -\arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$