Найдите значение выражения: \sqrt[4]{\frac{81}{16}}

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет. Вот решения: 1. $\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} = 1.5$. 2. $\log_3(4-x) = 4$. По определению логарифма: $4-x = 3^4 = 81$. Тогда $x = 4 - 81 = -77$. 3. $9 \cdot 10^{\log_{10} 3} = 9 \cdot 3 = 27$ (так как $10^{\log_{10} 3} = 3$ по основному логарифмическому тождеству). 4. $-17\sqrt{3} \cdot \text{tg} 1050^\circ$. Вычислим тангенс: $1050^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 330^\circ$. $\text{tg} 330^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Итого: $-17\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 17$. 5. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$. 6. Объем $V = \frac{m}{\rho} = \frac{8.4 \text{ кг}}{700 \text{ кг/м}^3} = 0.012 \text{ м}^3$. Так как $V = \pi r^2 h$, то $r^2 = \frac{0.012}{\pi \cdot 0.6} \approx 0.00637$. $r \approx 0.08 \text{ м}$ (или 8 см). 7. $(\frac{\cos x}{\pi})' = \frac{1}{\pi} (\cos x)' = -\frac{\sin x}{\pi}$. 8. $\int_0^2 (4x^3 - 6x - 2) dx = [x^4 - 3x^2 - 2x]_0^2 = (16 - 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - 0 = 16 - 12 - 4 = 0$. 9. Благоприятные исходы: 4, 5, 6 (всего 3). Всего граней: 6. Вероятность $P = \frac{3}{6} = 0.5$. 10. $\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 1$. Перенесем 1: $\cos^2 x - 1 + \sin x \cos x = 0$. Учитывая $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, имеем: $-\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \Rightarrow \sin x(\cos x - \sin x) = 0$. - $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$. - $\cos x = \sin x \Rightarrow \text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. 11. $2^{x+1} + 2^{x+3} > 17 \Rightarrow 2 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x > 17 \Rightarrow 10 \cdot 2^x > 17 \Rightarrow 2^x > 1.7$. $x > \log_2 1.7$. 12. $y' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - \frac{5}{3} \cdot 3x^2 - \frac{8}{2} \cdot 2x = 2x^3 - 5x^2 - 8x$. Приравняем к 0: $x(2x^2 - 5x - 8) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(-8)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{4}$. Это точки экстремума.