3.109. В четырехугольной пирамиде все ребра равны. Докажите, что ее сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания, является прямоугольным треугольником.

### Задача 3.109 **Доказательство:** 1. Пусть пирамида $SABCD$ — четыреххугольная, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание (квадрат). 2. По условию, все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра через $a$. Тогда $SA = SB = SC = SD = a$ и $AB = BC = CD = DA = a$. 3. Рассмотрим сечение, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $BD$. Это сечение — треугольник $\triangle SBD$. 4. Стороны треугольника $SBD$: $SB=a$, $SD=a$, а сторона $BD$ — диагональ квадрата со стороной $a$, т.е. $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 5. Проверим треугольник по теореме Пифагора: $SB^2 + SD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. $BD^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$. 6. Так как $SB^2 + SD^2 = BD^2$, то $\triangle SBD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$. Что и требовалось доказать. ### Задача 3.110 **Ответ:** Сечение является треугольником. Если мы проводим плоскость через середины трех ребер, не выходящих из одной вершины, то она отсекает угол пирамиды. В случае треугольной пирамиды (тетраэдра) плоскость, проходящая через середины трех ребер, образующих трехгранный угол при одной вершине, будет параллельна грани, противоположной этой вершине. Если же ребра не выходят из одной вершины, сечением будет треугольник, подобный основанию (вписанный в сечение параллельно основанию). ### Задача 3.111 **Ответ:** Да, может. При перемещении плоскости, секущей куб, количество сторон сечения может меняться. - Сечениями куба могут быть треугольники, четырехугольники (трапеции, параллелограммы, прямоугольники), пятиугольники и шестиугольники. - При постепенном движении плоскости сквозь куб (например, при сечении углов) последовательность многоугольников меняется при прохождении через вершины куба. Последовательность «четырехугольник — пятиугольник — четырехугольник» возможна, если плоскость движется, например, перпендикулярно диагонали куба, проходя через его вершины.