Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы с помощью производной.

Для исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы нужно найти производную и приравнять её к нулю. ### а) $y = 2x^4 + x^3 - 2$ 1. Находим производную: $y' = 8x^3 + 3x^2 = x^2(8x + 3)$ 2. Приравниваем к нулю: $x^2(8x + 3) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = -3/8 = -0,375$ 3. Определяем знаки производной на интервалах: - $(-\infty; -0,375)$: производная отрицательна (функция убывает). - $(-0,375; 0)$: производная положительна (функция возрастает). - $(0; +\infty)$: производная положительна (функция возрастает). **Итог:** - Функция убывает на $(-\infty; -0,375]$. - Функция возрастает на $[-0,375; +\infty)$. - Минимум в точке $x = -0,375$ (так как производная меняет знак с "-" на "+"). - В точке $x = 0$ экстремума нет, так как знак производной не меняется. ### б) $y = (x - 1)(x + 3)^2$ 1. Раскроем скобки для удобства или воспользуемся правилом производной произведения: $y' = (x - 1)'(x + 3)^2 + (x - 1)((x + 3)^2)'$ $y' = 1 \cdot (x + 3)^2 + (x - 1) \cdot 2(x + 3)$ $y' = (x + 3)(x + 3 + 2x - 2) = (x + 3)(3x + 1)$ 2. Приравниваем к нулю: $(x + 3)(3x + 1) = 0$ $x_1 = -3$, $x_2 = -1/3 \approx -0,33$ 3. Определяем знаки производной: - $(-\infty; -3)$: $y' > 0$ (возрастает). - $(-3; -1/3)$: $y' < 0$ (убывает). - $(-1/3; +\infty)$: $y' > 0$ (возрастает). **Итог:** - Функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и $[-1/3; +\infty)$. - Функция убывает на $[-3; -1/3]$. - Максимум в точке $x = -3$, минимум в точке $x = -1/3$.