Экзаменационный билет № 1 3. Вычислить определенный интеграл: 1 ∫(x-1)dx 0

Привет! Давай разберем задачи из билетов. В первом билете есть две математические задачи, во втором — тоже две. ### Экзаменационный билет № 1 **3. Вычислить определенный интеграл:** $\int_0^1 (x - 1) dx$ Решение: $\int_0^1 (x - 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} - x \right) \bigg|_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 \right) = \frac{1}{2} - 1 = -0,5$ **Ответ: -0,5** **4. Вычислить: $\sin 16^\circ \cos 29^\circ + \sin 29^\circ \cos 16^\circ$** Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. $\sin 16^\circ \cos 29^circ + \sin 29^circ \cos 16^circ = \sin(16^\circ + 29^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** --- ### Экзаменационный билет № 2 **3. Упростить выражение: $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$** Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** **4. Решить уравнение: $\log_4 x = \log_4 (2 - x)$** 1. ОДЗ: $x > 0$ и $2 - x > 0 \implies x < 2$. Область допустимых значений: $0 < x < 2$. 2. Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: $x = 2 - x$ $2x = 2$ $x = 1$ 3. Проверка: $1$ входит в ОДЗ ($0 < 1 < 2$). **Ответ: 1**