23. (2 балла) Найти член разложения бинома (sqrt(x) + 1/root(3,x))^16 , содержащий x^3 .

Для нахождения члена разложения воспользуемся формулой общего члена бинома Ньютона $(a + b)^n$, где $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$. В нашем случае: $n = 16$ $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$ $b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$ Запишем общий член: $T_{k+1} = C_{16}^k \cdot (x^{1/2})^{16-k} \cdot (x^{-1/3})^k$ $T_{k+1} = C_{16}^k \cdot x^{(16-k)/2} \cdot x^{-k/3}$ $T_{k+1} = C_{16}^k \cdot x^{8 - k/2 - k/3} = C_{16}^k \cdot x^{8 - 5k/6}$ Нам нужно найти такой член, который содержит $x^3$, значит показатель степени должен быть равен 3: $8 - \frac{5k}{6} = 3$ $5 = \frac{5k}{6}$ $k = 6$ Найдем коэффициент $C_{16}^6$: $C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008$ Подставим $k=6$ в $T_{k+1}$: $T_{6+1} = T_7 = 8008 \cdot x^{8 - 5(6)/6} = 8008 \cdot x^{8-5} = 8008x^3$ Ответ: $8008x^3$