1.Вычислить tg x * sin 3π/2 + cos π/2 + sin x.

Давай разберем задания по порядку: 1. Вычислить $tg x \cdot \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} + \sin x$. Значения тригонометрических функций: $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$ $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ Тогда выражение равно: $tg x \cdot (-1) + 0 + \sin x = -tg x + \sin x$. В условии, вероятно, пропущено значение $x$ или это упрощение выражения. 2. Найдите первообразную функции $y = x^2 + 1,5x + 6$. Правило нахождения первообразной $F(x) = \int (x^2 + 1,5x + 6) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{1,5x^2}{2} + 6x + C = \frac{1}{3}x^3 + 0,75x^2 + 6x + C$. 3. Найдите множество значений функции $y = 10 + \sin 3x$. Так как $-1 \le \sin 3x \le 1$, то $10 - 1 \le 10 + \sin 3x \le 10 + 1$. Область значений: $[9; 11]$. 4. (Текст размыт, пропущен) 5. Тело движется прямолинейно по закону $s(t) = 3t^2 - 2t^3$. Найдите его скорость в момент времени $t=2$. Скорость — это производная координаты по времени: $v(t) = s'(t) = (3t^2 - 2t^3)' = 6t - 6t^2$. При $t=2$: $v(2) = 6 \cdot 2 - 6 \cdot (2^2) = 12 - 24 = -12$. Ответ: $-12$. 6. Радиус основания конуса равен $R$, высота в два раза больше радиуса. Найдите объем конуса. $h = 2R$. $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 (2R) = \frac{2}{3} \pi R^3$. 7. Решите уравнение $4 + 6 \cos x = -2$. $6 \cos x = -6$ $\cos x = -1$ $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$. 8. Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - x^2 - 40x + 1$ на отрезке $[0; 4]$. Производная: $y' = 3x^2 - 2x - 40$. Приравняем к нулю: $3x^2 - 2x - 40 = 0$. $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 = 22^2$. $x_1 = \frac{2+22}{6} = 4$. $x_2 = \frac{2-22}{6} = -\frac{20}{6} = -3,33$ (не входит в отрезок). Проверим значения на концах отрезка и в критической точке: $y(0) = 0 - 0 - 0 + 1 = 1$. $y(4) = 4^3 - 4^2 - 40 \cdot 4 + 1 = 64 - 16 - 160 + 1 = -111$. Наименьшее значение: $-111$. 9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^2$, $y = -x^2 + 8x - 7$. Найдем точки пересечения: $x^2 = -x^2 + 8x - 7 \Rightarrow 2x^2 - 8x + 7 = 0$. $D = 64 - 56 = 8$. $x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Площадь $S = \int_{x_1}^{x_2} ((-x^2 + 8x - 7) - x^2) dx = \int_{2 - \frac{\sqrt{2}}{2}}^{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}} (-2x^2 + 8x - 7) dx$.