Вычислить tg п * sin 3п/2 + sin п/2 + sin п.

Давай разберем задания из твоего варианта: 1. Вычислить: $\operatorname{tg} \pi \cdot \sin \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} + \sin \pi$ - $\operatorname{tg} \pi = 0$ - $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$ - $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ - $\sin \pi = 0$ - Подставляем: $0 \cdot (-1) + 1 + 0 = 1$. **Ответ: В (1).** 2. Найдите производную функции $y=x^3 + 1,5x + 8$. - Правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и константы $(c)' = 0$. - $y' = (x^3)' + (1,5x)' + (8)' = 3x^2 + 1,5$. **Ответ: Г ($y'=3x^2+1,5$).** 3. Найдите множество значений функции $y=10 + \sin 3x$. - Значения синуса лежат в диапазоне $[-1; 1]$. - Значит, $10 + \sin 3x$ лежит в диапазоне $[10-1; 10+1]$, то есть $[9; 11]$. **Ответ: В ([9;11]).** 5. Тело движется прямолинейно по закону $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 2$. Найдите его скорость в момент времени $t=2$. - Скорость — это производная от пути: $v(t) = s'(t) = 6t^2 - 6t$. - Подставляем $t=2$: $v(2) = 6(2^2) - 6(2) = 6 \cdot 4 - 12 = 24 - 12 = 12$ м/с. **Ответ: 12 м/с.** 6. Радиус основания конуса равен 4, высота в два раза больше радиуса. Найдите объем конуса. - $r = 4$, $h = 2r = 8$. - $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 8 = \frac{128\pi}{3} \approx 42,67\pi$. 7. Решите уравнение $4 \sin x = -2$. - $\sin x = -0,5$. - $x = (-1)^k \arcsin(-0,5) + \pi k = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 8. Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[0; 3]$. - Ищем производную: $y' = 3x^2 - 2x - 4$. - Корни производной: $3x^2 - 2x - 4 = 0$. $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 52$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$. - В отрезок $[0; 3]$ попадает $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \approx 1,53$. - Считаем значения функции в точках $0$, $3$ и $\approx 1,53$: - $y(0) = 3$. - $y(3) = 27 - 9 - 12 + 3 = 9$. - $y(1,53) \approx -1,06$. **Ответ: Минимум $\approx -1,06$ в точке $x = \frac{1+\sqrt{13}}{3}$.** 9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x+2$, $y = x^2$. - Найдем точки пересечения: $x+2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Точки $x = -1$ и $x = 2$. - $S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = (6 - 2\frac{2}{3}) - (0,5 - 2 + 0,33) = 3\frac{1}{3} - (-1,17) = 4,5$.