Найдите точку минимума функции f(x)... Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x^2/3(x - 2) на отрезке [-8; -1].

Для решения задач нам нужно проанализировать график производной и выполнить исследование функции. ### 1. Анализ графика производной На рисунке изображен график функции $y = f'(x)$. Точки экстремума функции $f(x)$ находятся там, где $f'(x) = 0$ (пересечение с осью $Ox$) и меняет знак. На отрезке, представленном на графике, функция меняет знак с минуса на плюс (точка минимума) в точке $x = -3$. Значит, точка минимума функции $f(x)$ — это $-3$. **Ответ: 2) -3** ### 2. Исследование функции $f(x) = x^{2/3}(x - 2)$ на отрезке $[-8; -1]$ Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, найдем производную: $f(x) = x^{5/3} - 2x^{2/3}$ $f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} - 2 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{4}{3x^{1/3}} = \frac{5x - 4}{3x^{1/3}}$ Приравняем производную к нулю: $5x - 4 = 0 \Rightarrow x = 0,8$ (не входит в отрезок $[-8; -1]$). В точке $x=0$ производная не определена, но она также не входит в отрезок. Значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка: 1) $f(-8) = (-8)^{2/3} \cdot (-8 - 2) = ((-8)^{1/3})^2 \cdot (-10) = (-2)^2 \cdot (-10) = 4 \cdot (-10) = -40$ 2) $f(-1) = (-1)^{2/3} \cdot (-1 - 2) = ((-1)^{1/3})^2 \cdot (-3) = 1 \cdot (-3) = -3$ Наименьшее значение $-40$, наибольшее значение $-3$. **Ответ: 2) -3 и -40**