В треугольнике ABC с углом B, равным 60°, AB > BC, AB + BC = 11, радиус вписанной окружности равен 2/√3, AH — высота. Найдите AH².

Пусть $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. 1. Используем формулу радиуса вписанной окружности $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр. Площадь $S$ можно найти как $S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} ac \sin 60^\circ = \frac{ac \sqrt{3}}{4}$. 2. Известно $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ и $a+c = 11$. Запишем равенство $r = \frac{S}{p}$: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{ac\sqrt{3} / 4}{(a+c+b)/2} = \frac{ac\sqrt{3}}{2(11+b)}$. 3. По теореме косинусов $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos 60^\circ = a^2 + c^2 - ac$. Так как $(a+c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = 121$, то $a^2+c^2 = 121 - 2ac$. Тогда $b^2 = 121 - 2ac - ac = 121 - 3ac$. 4. Из уравнения в п. 2: $2 = \frac{3ac}{2(11+b)} \implies 4(11+b) = 3ac \implies 44 + 4b = 3ac \implies ac = \frac{44+4b}{3}$. Подставим это в выражение для $b^2$: $b^2 = 121 - 3 \cdot \frac{44+4b}{3} = 121 - 44 - 4b = 77 - 4b$. Получили квадратное уравнение относительно $b$: $b^2 + 4b - 77 = 0$. Корни уравнения: $b_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 308}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 \pm 18}{2}$. Так как сторона $b > 0$, то $b = 7$. 5. Найдем $ac$: $ac = \frac{44 + 4 \cdot 7}{3} = \frac{44 + 28}{3} = \frac{72}{3} = 24$. 6. Чтобы найти $AH^2$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle H = 90^\circ$): $AH = c \sin B = c \sin 60^\circ = c \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $AH^2 = c^2 \cdot \frac{3}{4}$. Нам нужно найти $c$. Мы знаем $a+c=11$ и $ac=24$. $c$ и $a$ — корни уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$. $D = 121 - 4 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$. $x_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{2} \implies x_1 = 8, x_2 = 3$. По условию $AB > BC$, значит $c=8$, $a=3$. 7. Итого: $AH^2 = 8^2 \cdot \frac{3}{4} = 64 \cdot \frac{3}{4} = 48$. **Ответ: 48**.