Найти производную функции: а)(x - 1)(x²+x+1); б)x⁴sin x;

### 1. Найти производную функции: a) $f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$. $f'(x) = (x^3 - 1)' = 3x^2$. б) $f(x) = x^4 \sin x$. Применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (x^4)' \sin x + x^4 (\sin x)' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x$. в) $f(x) = (4x - 9)^7$. Применим правило производной сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$: $f'(x) = 7(4x - 9)^6 \cdot (4x - 9)' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4 = 28(4x - 9)^6$. ### 2. Найти значение производной функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $f(x) = \sqrt{2} \sin x + 3 \text{tg } x - 5$. $f'(x) = \sqrt{2} \cos x + \frac{3}{\cos^2 x}$. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ ($\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$): $f'(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 1 + \frac{3}{2/4} = 1 + \frac{3}{0.5} = 1 + 6 = 7$. ### 3. Записать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{4x - 2}{4 - x}$ в точке $x_0 = 3$: Уравнение: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $f(3) = \frac{4(3) - 2}{4 - 3} = \frac{10}{1} = 10$. $f'(x) = \frac{(4x-2)'(4-x) - (4x-2)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{4(4-x) - (4x-2)(-1)}{(4-x)^2} = \frac{16 - 4x + 4x - 2}{(4-x)^2} = \frac{14}{(4-x)^2}$. $f'(3) = \frac{14}{(4-3)^2} = 14$. Уравнение: $y = 10 + 14(x - 3) \Rightarrow y = 10 + 14x - 42 \Rightarrow y = 14x - 32$. ### 4. Исследовать функцию $f(x) = 2x^4 - 16x^2$ и построить график: 1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. 2. Четность: $f(-x) = 2(-x)^4 - 16(-x)^2 = 2x^4 - 16x^2 = f(x)$, функция четная (график симметричен относительно оси OY). 3. Нули: $2x^4 - 16x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2(x^2 - 8) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2.8$. 4. Производная: $f'(x) = 8x^3 - 32x = 8x(x^2 - 4) = 8x(x - 2)(x + 2)$. Критические точки: $x = 0, x = 2, x = -2$. Точки минимума: $x = 2, x = -2$ ($f(2) = 2(16) - 16(4) = 32 - 64 = -32$). Точка максимума: $x = 0$ ($f(0) = 0$). :::div .chart-container @chart-1::: ### 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ на отрезке $[3; 6]$: $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$. $3(x^2 - 6x + 5) = 0 \Rightarrow 3(x - 1)(x - 5) = 0$. Точки: $x = 1$ (вне отрезка), $x = 5$ (внутри отрезка). Вычислим значения на концах отрезка и в критической точке: $f(3) = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$. $f(5) = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$. $f(6) = 216 - 324 + 90 - 3 = -21$. Наибольшее: $f(3) = -12$. Наименьшее: $f(5) = -28$.