Найти стационарные точки функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3.

Привет! Давай разберем эти задачи по математическому анализу. Для всех функций будем использовать производную. ### 1. Стационарные точки функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$ Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ Приравняем к нулю: $3x^2 - 4x + 1 = 0$ Корни квадратного уравнения по теореме Виета или через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2$ $x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1$, $x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$. **Ответ:** $x = 1$ и $x = \frac{1}{3}$. ### 2. Экстремумы функции 1) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$. Мы нашли $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$. Точки экстремума: $1$ и $\frac{1}{3}$. Исследуем знаки производной: - При $x < 1/3$ (например, $0$): $f'(0) = 1 > 0$ (функция растет). - При $1/3 < x < 1$ (например, $0.5$): $f'(0.5) = 3(0.25) - 2 + 1 = 0.75 - 1 = -0.25 < 0$ (функция убывает). - При $x > 1$ (например, $2$): $f'(2) = 3(4) - 8 + 1 = 5 > 0$ (функция растет). Точка максимума $x_{max} = 1/3$: $f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 1/27 - 6/27 + 9/27 + 81/27 = 85/27 \approx 3.15$. Точка минимума $x_{min} = 1$: $f(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$. 2) $f(x) = e^x(2x - 3)$ Найдем производную произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x(2) = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1)$. $e^x$ всегда больше $0$, значит, критическая точка при $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Слева от $0.5$ производная отрицательна, справа — положительна. Это точка минимума. $f(0.5) = e^{0.5}(2(0.5) - 3) = e^{0.5}(-2) = -2\sqrt{e}$. ### 3. Промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$ Используя анализ из задания 2: Возрастает: $(-\infty; 1/3] \cup [1; +\infty)$ Убывает: $[1/3; 1]$ ### 4. График функции на отрезке $[-1; 2]$ :::div .chart-container @chart-1::: Для построения вычислим значения в контрольных точках: $f(-1) = -1 - 2 - 1 + 3 = -1$ $f(0) = 3$ $f(1/3) \approx 3.15$ $f(1) = 3$ $f(2) = 8 - 8 + 2 + 3 = 5$ ### 5. Наибольшее и наименьшее значения на $[0; 1.5]$ Проверим значения в критических точках, входящих в отрезок, и на концах отрезка: $f(0) = 3$ $f(1/3) = 85/27 \approx 3.15$ $f(1) = 3$ $f(1.5) = f(3/2) = (3/2)^3 - 2(3/2)^2 + 3/2 + 3 = 27/8 - 18/4 + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 4.5 = 3.375 = 3 \frac{3}{8}$. Наибольшее значение: $3.375$ (при $x=1.5$). Наименьшее значение: $3$ (при $x=0$ и $x=1$).