541 – 570. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя.

Для решения этих задач воспользуемся правилом Лопиталя: если предел представляет собой неопределённость вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, то $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$. 541. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^3} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(x \cos x - \sin x)'}{(x^3)'} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x - \cos x}{3x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-x \sin x}{3x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{3x} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{3} = -\frac{1}{3}$ 543. $\lim\limits_{x \to 1} \frac{1-x}{1 - \sin \frac{\pi x}{2}} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(1-x)'}{(1 - \sin \frac{\pi x}{2})'} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2}} = \frac{1}{0} = \infty$ 545. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\text{tg} x - x}{x - \sin x} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{1 - \cos x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x (1 - \cos x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x (1 - \cos x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\cos^2 x} = \frac{1+1}{1^2} = 2$ 547. $\lim\limits_{x \to 1} (1-x) \text{tg} \frac{\pi x}{2} = [0 \cdot \infty] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1-x}{\text{ctg} \frac{\pi x}{2}} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi x}{2}}} = \frac{2}{\pi} \sin^2 \frac{\pi}{2} = \frac{2}{\pi}$ 549. $\lim\limits_{x \to 1} (\frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x}) = [\infty - \infty] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{x \ln x - x + 1}{(x-1) \ln x} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x + 1 - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}} = [\frac{0}{0}] = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$