Задача 6. Решите неравенство \sqrt{5x + 6} > 6 - x. В ответе запишите количество целых решений неравенства, принадлежащих отрезку [-25; 20].

Для решения неравенства $\sqrt{5x + 6} > 6 - x$ рассмотрим два случая: 1) Если $6 - x < 0$, то есть $x > 6$, неравенство верно при условии, что выражение под корнем неотрицательно: $5x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1,2$. Следовательно, на промежутке $(6; +\infty)$ все значения $x$ являются решениями. На отрезке $[-25; 20]$ этому соответствуют целые числа: $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$. Их количество: $20 - 7 + 1 = 14$. 2) Если $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$, обе части можно возвести в квадрат: $5x + 6 > (6 - x)^2$ $5x + 6 > 36 - 12x + x^2$ $x^2 - 17x + 30 < 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 17x + 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 17$, $x_1 \cdot x_2 = 30$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 15$. Неравенство $x^2 - 17x + 30 < 0$ выполняется при $x \in (2; 15)$. Учитывая условие $x \le 6$, получаем пересечение: $x \in (2; 6]$. Целые числа на этом интервале: $3, 4, 5, 6$. Их количество: $4$. Объединяя оба случая, получаем множество решений на отрезке $[-25; 20]$: - Из первого случая: $x [7; 20]$ (14 чисел). - Из второго случая: $x (2; 6]$ (4 числа). Всего: $14 + 4 = 18$. Ответ: 18