1. Доказать, что функция F(x) = 5x - cosx является первообразной для функции f(x) = sinx + 5 на всей числовой прямой.

Привет! Давай разберем задачи из твоего варианта по теме "Первообразная и интеграл". **1. Доказательство:** Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если её производная равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Найдем производную: $F'(x) = (5x - \cos x)' = (5x)' - (\cos x)' = 5 - (-\sin x) = 5 + \sin x$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x) = 5x - \cos x$ является первообразной для $f(x) = \sin x + 5$. **2. Нахождение первообразной:** Общий вид первообразной для $f(x) = 2\sin x + 3$: $F(x) = \int (2\sin x + 3) dx = -2\cos x + 3x + C$. График проходит через точку $M(0; 5)$, значит $F(0) = 5$: $-2\cos(0) + 3(0) + C = 5 \Rightarrow -2(1) + 0 + C = 5 \Rightarrow C = 7$. Ответ: $F(x) = -2\cos x + 3x + 7$. **3. Вычисление интегралов:** а) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,134$. б) $\int_{0}^{1} (2x+1)^4 dx = [\frac{(2x+1)^5}{2 \cdot 5}]_{0}^{1} = \frac{(2(1)+1)^5}{10} - \frac{(2(0)+1)^5}{10} = \frac{3^5}{10} - \frac{1^5}{10} = \frac{243 - 1}{10} = 24,2$. **4. Нахождение площади:** Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x$ (на рисунке перевернутая парабола) и осью $Ox$ от $x=0$ до $x=2$. $S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2]_{0}^{2} = (-\frac{8}{3} + 4) - 0 = -2\frac{2}{3} + 4 = 1\frac{1}{3} \approx 1,33$. **5. Нахождение площади:** Фигура ограничена $y=3$ и $y=x^2+2$. Найдем точки пересечения: $x^2 + 2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. $S = \int_{-1}^{1} (3 - (x^2 + 2)) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) = \frac{2}{3} - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,33$.