421. Найти производные dy/dx данных функций.

421. Найти производные $\frac{dy}{dx}$ данных функций. а) $y = \sqrt[5]{x^3 - 3x} - \frac{1}{(2x-1)^3}$ Представим функцию в виде степеней: $y = (x^3 - 3x)^{1/5} - (2x-1)^{-3}$. $y' = \frac{1}{5}(x^3 - 3x)^{-4/5} \cdot (3x^2 - 3) - (-3)(2x-1)^{-4} \cdot 2 = \frac{3(x^2 - 1)}{5\sqrt[5]{(x^3 - 3x)^4}} + \frac{6}{(2x-1)^4}$ б) $y = \frac{2 + \sin x}{2 - \cos x}$ Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(2 + \sin x)'(2 - \cos x) - (2 + \sin x)(2 - \cos x)'}{(2 - \cos x)^2} = \frac{\cos x(2 - \cos x) - (2 + \sin x)\sin x}{(2 - \cos x)^2} = \frac{2\cos x - \cos^2 x - 2\sin x - \sin^2 x}{(2 - \cos x)^2} = \frac{2\cos x - 2\sin x - 1}{(2 - \cos x)^2}$ в) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{x} - \sqrt{x}$ $y' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - (1+x)}{2\sqrt{x}(1+x)} = -\frac{x}{2\sqrt{x}(1+x)} = -\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}$ г) $y = (\sin x)^{\frac{3}{2}}$ $y' = \frac{3}{2}(\sin x)^{1/2} \cdot (\sin x)' = \frac{3}{2}\sqrt{\sin x} \cdot \cos x$ д) $y = x \cdot \sin y - y \cos x = 0$ Дифференцируем обе части уравнения по $x$, считая $y$ функцией от $x$: $(x \sin y)' - (y \cos x)' = 0$ $(1 \cdot \sin y + x \cdot \cos y \cdot y') - (y' \cdot \cos x + y \cdot (-\sin x)) = 0$ $\sin y + x y' \cos y - y' \cos x + y \sin x = 0$ Выносим $y'$: $y'(x \cos y - \cos x) = -\sin y - y \sin x$ $y' = \frac{-\sin y - y \sin x}{x \cos y - \cos x} = \frac{\sin y + y \sin x}{\cos x - x \cos y}$