На парту выложили в один ряд 2197 счётных палочек. Сколько между ними промежутков?

### Левая колонка 1. **Решение:** Если выложить в ряд $n$ предметов, между ними будет $n-1$ промежуток. Значит, $2197 - 1 = 2196$. **Ответ:** 2196 промежутков. 2. **Решение:** Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 1$. Количество членов $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$. $n = \frac{169 - 13}{1} + 1 = 156 + 1 = 157$. **Ответ:** 157 чисел. 3. **Решение:** Пусть $x$ — болельщики «Торпедо», $y$ — болельщики «Динамо». Всего болельщиков 200. В каждой паре хотя бы один болеет за «Динамо» означает, что болельщиков «Торпедо» не может быть больше, чем болельщиков «Динамо» (по принципу Дирихле). Однако формулировка задачи допускает, что «Торпедо» может быть 0, если все 200 болеют за «Динамо». Если же мы ищем максимальное число, то при 200 болельщиках можно составить 100 пар. Чтобы в каждой паре был «динамовец», достаточно, чтобы болельщиков «Динамо» было хотя бы 100. Если их 100, то остальные 100 могут болеть за «Торпедо». В таком случае в каждой паре будет один болельщик «Торпедо» и один «Динамо». **Ответ:** 100 болельщиков. 4. **Решение:** Сравним дроби $a = \frac{2025}{2026}$ и $b = \frac{2026}{2027}$. Воспользуемся правилом: $1 - \frac{2025}{2026} = \frac{1}{2026}$ и $1 - \frac{2026}{2027} = \frac{1}{2027}$. Так как $\frac{1}{2026} > \frac{1}{2027}$, то вычитаемое в первом случае больше, значит первая дробь меньше: $\frac{2025}{2026} < \frac{2026}{2027}$. **Ответ:** $\frac{2026}{2027}$ больше. 5. **Решение:** Сравним $\sqrt{675840 + 1}$ и $\sqrt{675840} + 1$. Очевидно, что $\sqrt{x+1} < \sqrt{x} + 1$ для любого положительного $x$, так как $(\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 > x+1$. **Ответ:** $\sqrt{675840} + 1$ больше. ### Правая колонка 1. **Решение:** Номера страниц идут подряд. Чтобы найти количество страниц, нужно из номера последней вычесть номер первой и прибавить 1. $249 - 12 + 1 = 238$. **Ответ:** 238 страниц. 2. **Решение:** Да, можно. Пронумеруем рабочих от 1 до 100. Возьмем 1 монету у первого рабочего, 2 монеты у второго, ..., 100 монет у сотого. Всего 5050 монет. Взвесим их. Если бы все монеты были по 10 г, вес был бы $5050 \times 10 = 50500$ г. Разница между этим весом и реальным покажет, сколько монет по 9 г (вора), что укажет на номер рабочего. **Ответ:** Да. 3. **Решение:** Всего детей 32. Каждый ребенок пришел либо с мамой, либо с папой, либо с обоими. Пусть $x$ — количество детей, у которых оба родителя. Количество мам: $28$. Количество пап: $22$. Всего взрослых: $28 + 22 = 50$. Пусть $M$ — число детей только с мамой, $P$ — число детей только с папой, $B$ — число детей с обоими родителями. $M + P + B = 32$ (всего детей). $M + B = 28$ (дети с мамой). $P + B = 22$ (дети с папой). Сложим две последние: $M + P + 2B = 50$. Вычтем первую: $(M + P + 2B) - (M + P + B) = 50 - 32 \Rightarrow B = 18$. **Ответ:** 18 детей.