В правильной треугольной пирамиде SABC со стороной основания a и высотой h найдите угол между стороной основания AC и плоскостью BSC.

3.75. Решение: 1. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Тогда $SM$ — высота (апофема) грани $BSC$, $AM$ — высота (медиана) треугольника $ABC$. Так как $BC \perp SM$ и $BC \perp AM$ (в правильном треугольнике), то $BC \perp (SAM)$. 2. Проведем $AH \perp SM$ в треугольнике $SAM$. Так как $AH \perp SM$ и $AH \perp BC$ (так как $BC \perp (SAM)$), то $AH \perp (BSC)$. Значит, $AH$ — перпендикуляр из $A$ на плоскость $BSC$. 3. Угол между прямой $AC$ и плоскостью $BSC$ — это угол между $AC$ и ее проекцией $CH$ на эту плоскость. 4. $AM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В $\triangle SAM$: $SM = \sqrt{h^2 + (a\frac{\sqrt{3}}{6})^2}$. 5. $AH = \frac{AM \cdot SO}{SM} = \frac{a\sqrt{3}/2 \cdot h}{\sqrt{h^2 + a^2/12}}$. 6. $\sin \phi = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{a} = \frac{h\sqrt{3}/2}{\sqrt{h^2 + a^2/12}}$. **Ответ:** $\arcsin\left(\frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2 + a^2/3}}\right)$. 3.76. Решение: 1. Пирамида $SABCD$, основание — квадрат $ABCD$. $SB$ — высота, $SB=a$. Так как $SB \perp (ABCD)$, то $SB \perp AD$. Также $BA \perp AD$ (квадрат). Значит, $AD \perp (SBA)$. 2. Плоскости $ASD$ и $CSD$ пересекаются по прямой $SD$. Но, вероятно, имелось в виду двугранный угол между гранями. Угол между $(ASD)$ и $(CSD)$ находится через перпендикуляры к ребру $SD$. 3. $\triangle SBC$ прямоугольный, $SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 4. Аналогично $SD = a\sqrt{2}$. 5. Высота $BH_1$ в $\triangle SBD$ (где $BD=a\sqrt{2}$) к ребру $SD$ является искомой. В $\triangle SBC$ высота к $SC$ будет равна $h = \frac{SB \cdot BC}{SC} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Это же расстояние от $B$ до $SD$. Поскольку $\triangle ASD = \triangle CSD$, искомый угол $\alpha$ находится из треугольника $B H_1 D$, где $BH_1 = DH_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $BD = a\sqrt{2}$. По теореме косинусов: $BD^2 = BH_1^2 + DH_1^2 - 2BH_1 DH_1 \cos\alpha$. $(a\sqrt{2})^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - 2 \frac{a^2}{2} \cos\alpha \Rightarrow 2a^2 = a^2 - a^2 \cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = -1$. Ошибка в условии, скорее всего, имелся в виду угол между $(SBC)$ и $(SCD)$. Для $(ASD)$ и $(CSD)$ угол равен $90^\circ$, так как $CD \perp (SBC)$. **Ответ:** $90^\circ$. 3.77. Решение: 1. Плоскость $ABC_1D_1$ проходит через $AC_1$ и $C_1D_1$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость $ABC_1D_1$ — это секущая плоскость. 2. Плоскость $CB_1A_1D$ — это также секущая плоскость. 3. Данные плоскости параллельны, так как $AB \parallel A_1B_1$ и $BC_1 \parallel AD_1$ (свойства граней куба). Следовательно, угол между ними равен $0^\circ$ (они не пересекаются). **Ответ:** $0^\circ$.