Вычислите 12^(1/3) * 6^(2/3) * (0,5)^(1/3).

Привет! Давай разберем задачи по порядку. ### 1. Вычисление $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^{1/3} = (2^2 \cdot 3)^{1/3} \cdot (2 \cdot 3)^{2/3} \cdot (2^{-1})^{1/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{2/3} \cdot 3^{2/3} \cdot 2^{-1/3} = 2^{(2/3+2/3-1/3)} \cdot 3^{(1/3+2/3)} = 2^{3/3} \cdot 3^{3/3} = 2 \cdot 3 = 6$. **Ответ: 6**. ### 2. Решение неравенства $2\lg 0,5 + \lg x > \lg 5$ $\lg (0,5^2) + \lg x > \lg 5$ $\lg 0,25 + \lg x > \lg 5$ $\lg(0,25x) > \lg 5$ $0,25x > 5$ (так как $x>0$) $x > 20$. **Ответ: $x > 20$**. ### 3. Решение уравнения $\cos(-x) = \sin\frac{\pi}{2}$ $\cos x = 1$ (так как $\cos(-x) = \cos x$) $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$**. ### 4. График функции Нужно построить график функции $y = f(x)$ на отрезке $[-5; 3]$ с областью значений $[-4; 2]$. Учитывая, что производная отрицательна на $(-5; -3)$ и $(-3; 0)$, функция убывает. Производная положительна на $(0; 3)$, функция возрастает. Точка $x = -3$ является критической (ноль производной). График представляет собой «галочку» с вершиной в точке $(0; -4)$ и концами в $(-5; 2)$ и $(3; 2)$. ### 5. Поиск всех функций Если $y' = x^2 - 4x$, то $y = \int (x^2 - 4x) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + C$, где $C$ — любая константа. ### 6. Взаимное расположение Так как прямые $AD$ и $BC$ пересекаются (дано), они лежат в одной плоскости. Точки $A, B$ лежат в $\alpha$, $C, D$ — в $\beta$. Значит, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, на которой лежат точки $A, B, C, D$. Прямые лежат на пересечении плоскостей. ### 7. Объем параллелепипеда $S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 136$. $2(4 \cdot 6 + 4h + 6h) = 136$ $24 + 10h = 68$ $10h = 44$, $h = 4,4$. $V = a \cdot b \cdot h = 4 \cdot 6 \cdot 4,4 = 105,6 \text{ см}^3$. **Ответ: 105,6 см³**. ### 8. Объем пирамиды Сторона основания $a=6$, значит, $S_{осн} = 6^2 = 36$. Диагональ основания $d = 6\sqrt{2}$, половина диагонали $R = 3\sqrt{2}$. Высота $H = R \cdot \tan 45^\circ = 3\sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \approx 50,91 \text{ см}^3$. **Ответ: $36\sqrt{2}$ см³**. ### 9. Система уравнений $\begin{cases} 27^x = 9^y \\ 81^x = 3^{y+1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3^{3x} = 3^{2y} \\ 3^{4x} = 3^{y+1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x = 2y \\ 4x = y+1 \end{cases}$ Из второго: $y = 4x - 1$. Подставим в первое: $3x = 2(4x - 1) = 8x - 2 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = 0,4$. $y = 4(0,4) - 1 = 1,6 - 1 = 0,6$. **Ответ: $x=0,4; y=0,6$**. ### 10. Наибольшее и наименьшее значения $y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$. Критические точки: $x=0, x=-1$. Обе лежат в $[-2, 2]$. $y(-2) = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2$. $y(-1) = 2(-1) + 3(1) + 2 = 3$. $y(0) = 2$. $y(2) = 2(8) + 3(4) + 2 = 16 + 12 + 2 = 30$. Наибольшее: 30, наименьшее: -2. **Ответ: 30; -2**.