3.68. В прямом параллелепипеде в основании лежит прямоугольник ABCD со сторонами a и b. Боковое ребро AA1 = h. Найдите углы: а) между диагональю A1C и плоскостью основания; б) между диагональю A1C и боковыми гранями BB1C и DD1C1.

### Решение задачи 3.68 Дано: прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Боковое ребро $AA_1 = h$. а) Угол $\alpha$ между диагональю $A_1C$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между $A_1C$ и её проекцией на плоскость основания, то есть $AC$. Проекция $AC$ является диагональю прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, поэтому $AC = \sqrt{a^2 + b^2}$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ ($CC_1 = AA_1 = h$): $\tan \alpha = \frac{CC_1}{AC} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Ответ: $\alpha = \arctan \frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. б) Угол $\beta$ между диагональю $A_1C$ и боковой гранью $BB_1C_1C$. Грань $BB_1C_1C$ перпендикулярна плоскости основания. Диагональ $A_1C$ наклонена к грани $BB_1C_1C$. Проекция точки $A_1$ на плоскость грани $BB_1C_1C$ — это точка $B_1$ (так как $A_1B_1 \perp B_1C_1$). Значит, искомый угол — это угол $\angle A_1CB_1$. В прямоугольном треугольнике $A_1B_1C$ ($A_1B_1 = AB = a$, $B_1C = \sqrt{BB_1^2 + B_1C^2} = \sqrt{h^2 + b^2}$): $\sin \beta = \frac{A_1B_1}{A_1C}$. Гипотенуза $A_1C = \sqrt{h^2 + a^2 + b^2}$. Следовательно, $\sin \beta = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2 + b^2}}$. Ответ: $\beta = \arcsin \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2 + b^2}}$. ### Решение задачи 3.69 Дано: треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основание $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник (угол $C=90^\circ$). Угол между катетом $AC$ и гранью $AA_1C_1C$ равен $30^\circ$. Найдем двугранный угол $\varphi$ между основанием $ABC$ и этой боковой гранью. Боковая грань $AA_1C_1C$ перпендикулярна основанию $ABC$ (так как призма прямая, ребра перпендикулярны основанию). Однако в условии сказано «угол между катетом и боковой гранью равен $30^\circ$». Это значит, что речь идет об угле между наклонной прямой и плоскостью. Если грань $AA_1C_1C$ перпендикулярна основанию, то угол между любой линией в основании и этой гранью равен $90^\circ$ (если линия перпендикулярна общему ребру) или $0^\circ$ (если параллельна). Вероятно, в задаче подразумевается наклонная призма или иная конфигурация. Если допустить, что призма прямая, условие противоречиво. Если же это задача на нахождение угла между плоскостями, а $30^\circ$ — это угол между наклонной $AC$ и плоскостью, то угол между плоскостями основания и боковой грани при условии перпендикулярности есть $90^\circ$. Если подразумевается, что боковая грань не перпендикулярна, данных недостаточно. Предположим, что $30^\circ$ — это угол между катетом $BC$ и гранью $AA_1C_1C$. Так как $BC \perp AC$ и $BC \perp CC_1$, то $BC \perp (AA_1C_1C)$. Угол равен $90^\circ$, что противоречит условию. Вероятно, задача требует чертежа с иным расположением углов.