Задание 12. Крыша дома имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 8 м. Апофема наклонена к плоскости основания под углом 60° . Найдите площадь для покраски данной крыши.

Для решения задачи найдем площадь боковой поверхности пирамиды, так как именно она представляет собой площадь крыши, которую нужно покрасить. Дано: - Сторона основания пирамиды $a = 8$ м. - Угол между апофемой и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны (этот отрезок равен половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2} = 4$ м). 2. В этом треугольнике апофема $l$ является гипотенузой. По определению косинуса: $\cos(60^\circ) = \frac{a/2}{l} \Rightarrow l = \frac{a/2}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{0,5} = 8$ м. 3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема. 4. Периметр основания $P = 4 \times a = 4 \times 8 = 32$ м. 5. $S_{бок} = \frac{1}{2} \times 32 \times 8 = 16 \times 8 = 128$ м$^2$. Ответ: 128 м$^2$.