Задание 11. Исследуйте функцию y = x^3 - 3x^2 + 4 с помощью производной и постройте её график.

### Задание 11 Исследуем функцию $y = x^3 - 3x^2 + 4$. 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Четность/нечетность:** $y(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq \pm y(x)$, функция общего вида. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$ ($x=0$): $y(0) = 4$. Точка $(0; 4)$. - С осью $Ox$ ($y=0$): $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Заметим, что $x=2$ — корень: $8 - 12 + 4 = 0$. Делим на $(x-2)$: $(x-2)(x^2 - x - 2) = (x-2)(x-2)(x+1) = (x-2)^2(x+1)$. Корни: $x=2$ (касание), $x=-1$. 4. **Производная и экстремумы:** $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Критические точки: $x=0$, $x=2$. - $y(0) = 4$ — локальный максимум. - $y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ — локальный минимум. На интервале $(-\infty, 0)$ функция возрастает, $(0, 2)$ — убывает, $(2, +\infty)$ — возрастает. 5. **Точка перегиба:** $y'' = 6x - 6 = 6(x - 1)$. $x = 1$. $y(1) = 1 - 3 + 4 = 2$. Точка перегиба $(1; 2)$. :::div .chart-container @chart-1::: ### Задание 12 Дано: правильная четырехугольная пирамида (крыша). Сторона основания $a = 8$ м. Апофема $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha = 60^\circ$. 1. Найти апофему $l$: В пирамиде апофема, проекция апофемы на основание (равная $a/2 = 4$) и высота образуют прямоугольный треугольник. $\cos(60^\circ) = \frac{a/2}{l} = \frac{4}{l} \implies l = \frac{4}{1/2} = 8$ м. 2. Площадь боковой поверхности (площадь для покраски): Боковая поверхность состоит из 4 треугольников. $S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2 \cdot 8 \cdot 8 = 128$ м$^2$. **Ответ:** 128 м$^2$.