3.47. Нарисуйте и вычислите высоту тетраэдра PABC, если ребро AC равно 3, а все остальные ребра равны 2. Как изменится рисунок, если ребро BC будет равно: а) 3; б) 4?

Для решения задач по стереометрии важно построить правильный чертеж и понимать свойства фигур. Вот решения для предложенных заданий: **3.47. Тетраэдр PABC** В тетраэдре PABC все ребра, кроме AC, равны 2, AC = 3. Так как боковые ребра PA = PB = PC = 2, то вершина P проецируется в центр описанной около треугольника ABC окружности (точку O). Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC = 3 и боковыми сторонами AB = BC = 2. Высота h = PO = $\sqrt{PA^2 - AO^2}$. Радиус R описанной окружности треугольника ABC: $R = \frac{abc}{4S}$. **3.48. Пирамида PABCD** Основание — равнобочная трапеция. Так как боковые ребра равны, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности трапеции. Для равнобочной трапеции с углом 60° и большим основанием 2, нужно сначала найти боковую сторону и малое основание, используя тригонометрию, чтобы построить проекцию. **3.49. Пирамида MABCD** Дано: $AC \perp BD$, $AC = BD$. Основание высоты — точка A. $MB = MC = MD$. Так как проекция M — точка A, то $AB \perp BD$, $AD \perp AC$. В четырехугольнике ABCD диагонали равны и перпендикулярны. Это квадрат или равнобедренная трапеция с особыми свойствами. Учитывая условие, что $AC=BD$ и они перпендикулярны, это делает ABCD квадратом. **Ответ: 90°, 90°, 90°, 90°.** **3.50. Расстояния до линии пересечения** Пусть катеты лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$, пересекающихся по прямой $l$. Гипотенуза равна 2, значит катеты равны $\sqrt{2}$. Расстояние от одной вершины до $l$ равно 1. Используя теорему о проекциях, можно найти расстояние для второй вершины. **Ответ: 1.** **3.51. Перпендикулярные грани** Да, такая пирамида существует. Это может быть пирамида, у которой две противоположные боковые грани проходят через высоту пирамиды, перпендикулярную основанию (например, пирамида с основанием-прямоугольником, где две грани — это плоскости, содержащие высоту и стороны основания).