2. Дано: ΔMBN — равнобедренный с основанием MN, AN = CM (рис. 2.81). Доказать: ΔABC — равнобедренный.

### Решение задачи 2 **Дано:** $\triangle MBN$ — равнобедренный, $BM = BN$ (так как $MN$ — основание). $AN = CM$ **Доказать:** $\triangle ABC$ — равнобедренный. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$: - $BM = BN$ (по условию $\triangle MBN$ равнобедренный). - $\angle AMB = \angle CNB$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны). - $AM = MN - AN$ и $CN = MN - CM$. Так как $AN = CM$ (по условию), то $AM = CN$. 2. Значит, $\triangle ABM = \triangle CBN$ по двум сторонам и углу между ними (по I признаку). 3. Из равенства треугольников следует равенство сторон $AB = CB$. 4. Так как $AB = CB$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать. ### Решение задачи 3 **Дано:** $P = 36$ см (периметр). Сумма двух сторон = 26 см. **Решение:** Пусть стороны треугольника — $a, b, c$. Периметр $P = a + b + c = 36$. По условию сумма двух сторон равна 26. Возможны два случая для равнобедренного треугольника: 1. Сумма двух боковых сторон равна 26. Тогда $2b = 26 \Rightarrow b = 13$. Основание $c = 36 - 26 = 10$. Стороны: 13 см, 13 см, 10 см. Проверка неравенства треугольника: $13 + 13 > 10$ (26 > 10, верно), $13 + 10 > 13$ (23 > 13, верно). Подходит. 2. Сумма боковой стороны и основания равна 26. $b + c = 26$. Так как $2b + c = 36$, вычтем из второго первое: $(2b + c) - (b + c) = 36 - 26$, откуда $b = 10$. Тогда $c = 26 - 10 = 16$. Стороны: 10 см, 10 см, 16 см. Проверка неравенства треугольника: $10 + 10 > 16$ (20 > 16, верно), $10 + 16 > 10$ (26 > 10, верно). Подходит. **Ответ:** Стороны могут быть 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.