308*. Проверьте справедливость равенства: 1) C_9^3 = C_9^6; 2) C_12^5 = C_12^7; 3) C_6^4 + C_6^3 = C_7^4; 4) C_10^6 + C_10^5 = C_11^6.

Question

Вопрос:

308*. Проверьте справедливость равенства: 1) C_9^3 = C_9^6; 2) C_12^5 = C_12^7; 3) C_6^4 + C_6^3 = C_7^4; 4) C_10^6 + C_10^5 = C_11^6.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения воспользуемся формулами комбинаторики: 1. Формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. 2. Свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$. 3. Правило Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. **1) $C_9^3 = C_9^6$** Проверим свойство симметрии. Здесь $n=9$, $k=3$. Тогда $n-k = 9-3 = 6$. Равенство $C_9^3 = C_9^6$ верно. **2) $C_{12}^5 = C_{12}^7$** Проверим свойство симметрии. Здесь $n=12$, $k=5$. Тогда $n-k = 12-5 = 7$. Равенство $C_{12}^5 = C_{12}^7$ верно. **3) $C_6^4 + C_6^3 = C_7^4$** Воспользуемся правилом Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В нашем случае $n=6$, $k=4$. Тогда: $C_6^4 + C_6^{4-1} = C_{6+1}^4 \Rightarrow C_6^4 + C_6^3 = C_7^4$. Равенство верно. **4) $C_{10}^6 + C_{10}^5 = C_{11}^6$** Воспользуемся правилом Паскаля. Здесь $n=10$, $k=6$. $C_{10}^6 + C_{10}^{6-1} = C_{10+1}^6 \Rightarrow C_{10}^6 + C_{10}^5 = C_{11}^6$. Равенство верно.

308*. Проверьте справедливость равенства: 1) C_9^3 = C_9^6; 2) C_12^5 = C_12^7; 3) C_6^4 + C_6^3 = C_7^4; 4) C_10^6 + C_10^5 = C_11^6.

Ответ ассистента

Другие решения