1. Найдите значение выражения 21^0.7 * 7^0.3 : 3^-0.3

1. $21^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = (3 \cdot 7)^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = 3^{0.7} \cdot 7^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = 3^{0.7 - (-0.3)} \cdot 7^{0.7 + 0.3} = 3^1 \cdot 7^1 = 21$. 2. $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -2$ (не подходит, $|t| \le 1$), $t_2 = 1$. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3. $y = \log_2(4-5x)$. ОДЗ: $4-5x > 0 \Rightarrow 5x < 4 \Rightarrow x < 0.8$. Ответ: $(-\infty; 0.8)$. 4. $x - 6 = \sqrt{2x + 12}$. Возведем в квадрат: $x^2 - 12x + 36 = 2x + 12$. $x^2 - 14x + 24 = 0$. Корни: $x_1 = 12, x_2 = 2$. Проверка: при $x=2$: $2-6 = -4$, а $\sqrt{4+12}=4$. $-4 \ne 4$. При $x=12$: $12-6 = 6$, $\sqrt{24+12}=6$. Верно. Ответ: $12$. 5. $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$. Пусть $3^x = t, t > 0$. $t^2 - 8t - 9 = 0$. $t_1 = 9, t_2 = -1$ (не подходит). $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$. 6. $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17$. $y' = 3x^2 - 12x + 9$. $3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1=1, x_2=3$. Функция возрастает на $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$. 7. $\log_5 12 - \log_5 15 + \log_5 20 = \log_5(\frac{12 \cdot 20}{15}) = \log_5(\frac{240}{15}) = \log_5 16 = \log_5 2^4 = 4\log_5 2$. 8. $F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx = 2x^2 - x^{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$. $F(-1) = 4 imes (-1)^2 - \frac{1}{-1} + C = 4 imes 1 + 1 + C = 5 + C$. $5 + C = 4 \Rightarrow C = -1$. Ответ: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} - 1$. 9. Обозначим стороны $x$ и $x+2$. Высота $h$ делит основание на $4$ и $8$. По теореме Пифагора: $x^2 - 4^2 = (x+2)^2 - 8^2 \Rightarrow x^2 - 16 = x^2 + 4x + 4 - 64 \Rightarrow 4x = 44 \Rightarrow x = 11$. Стороны: $11$ см, $13$ см, $12$ см. 10. $l = 18$, угол $30^\circ$. Радиус $r = l \cdot \sin 30^\circ = 18 \cdot 0.5 = 9$. Высота $h = l \cdot \cos 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$. $S = \pi r (r + l) = \pi \cdot 9 \cdot (9 + 18) = 243\pi$.