1. Найдите значение выражения 21^0.7 · 7^0.3 : 3^-0.3

1. $21^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = (3 \cdot 7)^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = 3^{0.7} \cdot 7^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = (3^{0.7} : 3^{-0.3}) \cdot (7^{0.7} \cdot 7^{0.3}) = 3^1 \cdot 7^1 = 21$. Ответ: 21. 2. $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$. Пусть $t = \sin x, |t| \le 1$. $t^2 + t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = -2$ (не подходит). $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 3. $y = \log_2(4-5x)$. Область определения: $4-5x > 0 \Rightarrow 5x < 4 \Rightarrow x < 0.8$. Ответ: $(-\infty; 0.8)$. 4. $x - 6 = \sqrt{2x + 12}$. Возведем в квадрат: $(x-6)^2 = 2x+12 \Rightarrow x^2 - 12x + 36 = 2x + 12 \Rightarrow x^2 - 14x + 24 = 0$. Корни $x_1 = 12, x_2 = 2$. Проверка $x-6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$. $x=2$ не подходит. Ответ: 12. 5. $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$. Пусть $t = 3^x, t > 0$. $t^2 - 8t - 9 = 0$. Корни $t=9, t=-1$ (не подходит). $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$. Ответ: 2. 6. $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17$. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 12x + 9$. $3(x^2 - 4x + 3) \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \ge 0$. Ответ: возрастает на $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$. 7. $\log_5 12 - \log_5 15 + \log_5 20 = \log_5 \left(\frac{12}{15} \cdot 20\right) = \log_5(0.8 \cdot 20) = \log_5 16$. Ответ: $\log_5 16$ (или $4\log_5 2$). 8. $F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$. Точка $M(-1; 4): 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \Rightarrow 4 = 2 + 1 + C \Rightarrow C = 1$. Ответ: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$. 9. Пусть стороны $a, b$, высота $h$ делит основание $c=12$. $a^2=h^2+4^2, b^2=h^2+8^2$. $b-a=2 \Rightarrow b=a+2$. $(a+2)^2 = h^2 + 64 \Rightarrow a^2+4a+4 = (a^2-16) + 64 \Rightarrow 4a = 44 \Rightarrow a=11$. Тогда $b=13$. Ответ: 11 см, 12 см, 13 см. 10. $l=18, \alpha=30^\circ$. Радиус $r = 18 \cdot \sin 30^\circ = 9$. Площадь полной поверхности $S = \pi r (r+l) = \pi \cdot 9 \cdot (9+18) = 243\pi$. Ответ: $243\pi$.