Соотнесите числа и множества, которым они принадлежат:

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. **1. Соотнесение чисел и множеств:** * $4\frac{3}{7} \in \mathbb{Q}$ (Рациональные) * $4 \in \mathbb{N}$ (Натуральные) и $\mathbb{Z}$ (Целые), $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ * $2+3i \in \mathbb{C}$ (Комплексные) * $\pi \in \mathbb{R}$ (Действительные) * $\sqrt[3]{5} \in \mathbb{R}$ (Действительные, иррациональное число) * $3,5 \in \mathbb{Q}$ (Рациональные) **2. Вычислите:** а) $(4-3i)(2+i) = 8 + 4i - 6i - 3i^2 = 8 - 2i + 3 = 11 - 2i$ б) $(5-2i)^2 = 25 - 20i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i$ в) $i^{40} + i^{21} - i^{33} = (i^4)^{10} + (i^4)^5 \cdot i - (i^4)^8 \cdot i = 1 + 1 \cdot i - 1 \cdot i = 1$ **3. Система уравнений (метод Крамера):** $\begin{cases} x + 4y = 2 \\ 2x - 3y = -7 \end{cases}$ Определитель системы $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -3 - 8 = -11$ $\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -7 & -3 \end{vmatrix} = -6 - (-28) = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{-11} = -2$ $\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -7 \end{vmatrix} = -7 - 4 = -11 \Rightarrow y = \frac{-11}{-11} = 1$ Ответ: $(-2; 1)$ **4. Вычислите:** а) $\frac{(3^2)^6 \cdot 2^{-4}}{3^{-2}} = \frac{3^{12} \cdot 3^2}{2^4} = \frac{3^{14}}{16}$ б) $27^{1/3} \cdot 81^{1/4} \cdot (27/8)^{-1/3} - 2/3 = 3 \cdot 3 \cdot (8/27)^{1/3} - 2/3 = 9 \cdot 2/3 - 2/3 = 6 - 2/3 = 5\frac{1}{3}$ в) $9^{1,5} - 81^{0,5} - 0,5^{-2} = 9^{3/2} - 9 - (1/2)^{-2} = 27 - 9 - 4 = 14$ г) $\log_5 9 \cdot \log_3 25 = \frac{\log 9}{\log 5} \cdot \frac{\log 25}{\log 3} = \frac{2 \log 3}{\log 5} \cdot \frac{2 \log 5}{\log 3} = 4$ д) $2^{\log_2 3} + \log_7 2 - \log_7 14 = 3 + \log_7 (2/14) = 3 + \log_7 (1/7) = 3 - 1 = 2$ е) $4 \cdot \text{tg} 7^\circ \cdot \text{tg} 83^\circ = 4 \cdot \text{tg} 7^\circ \cdot \text{ctg} 7^\circ = 4 \cdot 1 = 4$ **5. Найдите $\text{tg} \alpha$:** $\cos \alpha = 0,8$, угол во II четверти ($\pi/2 < \alpha < \pi$), значит синус положительный, тангенс отрицательный. $\sin^2 \alpha = 1 - 0,64 = 0,36 \Rightarrow \sin \alpha = 0,6$ $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{-0,8} = -0,75$ **6. Решите уравнение:** a) $(1/8)^{-3+x} = 512 \Rightarrow 8^{3-x} = 8^3 \Rightarrow 3-x=3 \Rightarrow x=0$ b) $\log_5 (5-x) = 2 \log_2 3$ (Опечатка в условии? Если $\log_5$, то $5-x = 5^{2 \log_2 3}$. Вероятно, подразумевалось $\log_5(5-x) = 2 \log_5 3 \Rightarrow 5-x=9 \Rightarrow x=-4$) c) $\sqrt[3]{x-4} = 3 \Rightarrow x-4 = 27 \Rightarrow x=31$ d) $2 \sin x - 2 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2 + 2 \pi k$ **7. График функции:** а) $D(f) = [1; 13]$ б) $E(f) = [-8; 6]$ в) $f'(x) > 0$ на $(1; 3) \cup (7; 8)$ г) $f'(x) < 0$ на $(3; 7) \cup (8; 13)$ д) Минимумы: $x=1, x=7$ е) Максимумы: $x=3, x=8$ ж) На $[2; 6]$ наибольшее значение 4 (в точке $x=3$) з) На $[6; 12]$ наименьшее значение -8 (в точке $x=1$ — стоп, вне отрезка, на [6;12] минимум в $x=7$ значение -8) **8. График функции:** График проходит через $(0; 3)$, амплитуда 1. Ответ: а) $y = \cos x + 3$. **9. Производная $y=(4x-1)\cos x$:** $y' = 4 \cdot \cos x + (4x-1) \cdot (-\sin x) = 4 \cos x - (4x-1) \sin x$ **10. Производная $y=\frac{\ln x}{x+11}$:** $y' = \frac{\frac{1}{x}(x+11) - \ln x \cdot 1}{(x+11)^2} = \frac{1 + \frac{11}{x} - \ln x}{(x+11)^2} = \frac{x + 11 - x \ln x}{x(x+11)^2}$ **11. Экстремумы $f(x) = x^3 - 48x + 17$:** $f'(x) = 3x^2 - 48 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ $f(-4) = -64 + 192 + 17 = 145$ (максимум) $f(4) = 64 - 192 + 17 = -111$ (минимум) **12. Наименьшее значение на [0; 4]:** $f(x) = x^3 - x^2 - 40x + 3$ $f'(x) = 3x^2 - 2x - 40 = 0$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{6} = \frac{2 \pm 22}{6} \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -20/6$. На отрезке [0; 4] критическая точка $x=4$. $f(0) = 3$ $f(4) = 64 - 16 - 160 + 3 = -109$ Ответ: -109 **13. Скорость и ускорение:** $x(t) = 0,5t^3 - 3t^2 + 2t$ $v(t) = x'(t) = 1,5t^2 - 6t + 2$ $a(t) = v'(t) = 3t - 6$ При $t=6$: $v(6) = 1,5 \cdot 36 - 6 \cdot 6 + 2 = 54 - 36 + 2 = 20$ м/с $a(6) = 3 \cdot 6 - 6 = 12$ м/с$^2$