13. Решите уравнение: 49^(3+x) = (1/7)^(2x-2)

13. Решите уравнение: $49^{3+x} = (\frac{1}{7})^{2x-2}$ $(7^2)^{3+x} = (7^{-1})^{2x-2}$ $7^{6+2x} = 7^{-2x+2}$ $6+2x = -2x+2$ $4x = -4$ $x = -1$ 14. Вычислите определённый интеграл: $\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx$ $\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = [\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x]_{-1}^{2}$ $= (\frac{8}{3} - 12 + 18) - (-\frac{1}{3} - 3 - 9) = (\frac{8}{3} + 6) - (-\frac{1}{3} - 12) = \frac{26}{3} + \frac{37}{3} = \frac{63}{3} = 21$ 15. Решите неравенство: $\frac{1}{2} \log_{0,5} (3x-2) > 1$ $\log_{0,5} (3x-2) > 2$ $3x-2 < (0,5)^2$ (знак неравенства меняется, так как основание < 1) $3x-2 < 0,25$ $3x < 2,25$ $x < 0,75$ Учитывая ОДЗ: $3x-2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; 0,75)$ 16. Найдите объём части цилиндра. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. Здесь изображен «вырез» в 1/4 часть. По рисунку радиус $R=2$, высота $H=2$. Полный объем $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 2 = 8\pi$. Искомая часть составляет 3/4 от полного цилиндра. $V_{часть} = \frac{3}{4} \cdot 8\pi = 6\pi \approx 18,84$ 17. Найдите длину вектора $3\vec{a} + 2\vec{b}$, если $\vec{a}(2; 1; -5), \vec{b}(-3; 0; 1)$. $3\vec{a} = (6; 3; -15)$ $2\vec{b} = (-6; 0; 2)$ $3\vec{a} + 2\vec{b} = (6-6; 3+0; -15+2) = (0; 3; -13)$ $|3\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-13)^2} = \sqrt{0 + 9 + 169} = \sqrt{178}$ 18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 + 3x^2 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$. $y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$. Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = -1$. Обе точки лежат на отрезке $[-2; 1]$. $y(-2) = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2$ $y(-1) = 2(-1) + 3(1) + 2 = 3$ $y(0) = 0 + 0 + 2 = 2$ $y(1) = 2(1) + 3(1) + 2 = 7$ Наибольшее: 7, наименьшее: -2. 19. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6 см, равна 408 см². Найдите диагонали параллелепипеда. $S_{осн} = 9 \cdot 6 = 54$ $S_{полн} = 2S_{осн} + P_{осн} \cdot h = 408$ $2(54) + 2(9+6) \cdot h = 408$ $108 + 30h = 408 \Rightarrow 30h = 300 \Rightarrow h = 10$ Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9^2 + 6^2 + 10^2} = \sqrt{81 + 36 + 100} = \sqrt{217}$ 20. Решите неравенство: $9^x - 2 \cdot 3^x < 3$ Пусть $3^x = t$ ($t > 0$) $t^2 - 2t - 3 < 0$ Корни уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$: $t_1 = 3, t_2 = -1$ Интервал для $t$: $(-1; 3)$. Учитывая $t > 0$, получаем $(0; 3)$. $0 < 3^x < 3 \Rightarrow 3^x < 3^1 \Rightarrow x < 1$