1. Логарифмическое неравенство $\sqrt{\log_4^2 x - 2} \ge \log_2 \frac{x}{4} - 1$

### 1. Логарифмическое неравенство $\sqrt{\log_4^2 x - 2} \ge \log_2 \frac{x}{4} - 1$ ОДЗ: 1) $\log_4^2 x - 2 \ge 0 \Rightarrow \log_4^2 x \ge 2 \Rightarrow |\log_4 x| \ge \sqrt{2} \Rightarrow \log_4 x \ge \sqrt{2}$ или $\log_4 x \le -\sqrt{2}$. 2) $x > 0$ (выполняется автоматически из ОДЗ логарифма). Заметим, что $\log_2 \frac{x}{4} - 1 = \log_2 x - 2 - 1 = \log_2 x - 3$. Пусть $\log_4 x = t$. Тогда $\log_2 x = 2t$. Неравенство: $\sqrt{t^2 - 2} \ge 2t - 3$. Если $2t - 3 < 0$ ($t < 1.5$), неравенство верно при условии $t^2 - 2 \ge 0$. Если $2t - 3 \ge 0$ ($t \ge 1.5$), возводим в квадрат: $t^2 - 2 \ge 4t^2 - 12t + 9 \Rightarrow 3t^2 - 12t + 11 \le 0$. Корни $3t^2 - 12t + 11 = 0$: $t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{12}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Интервал: $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \le t \le 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$. Учитывая $t \ge 1.5$, получаем решение. **Ответ: $x \in [4^{2 - \frac{\sqrt{3}}{3}}; +\infty)$** (при учете ОДЗ исходного корня). ### 2. Тригонометрическое уравнение $\text{ctg}^2 x - \text{tg}^2 x = \frac{12}{\cos 2x}$ $\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{12}{\cos 2x} \Rightarrow \frac{\cos^4 x - \sin^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{12}{\cos 2x}$ $\frac{(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)}{\frac{1}{4}\sin^2 2x} = \frac{12}{\cos 2x} \Rightarrow \frac{\cos 2x \cdot 1}{\frac{1}{4}\sin^2 2x} = \frac{12}{\cos 2x}$ $\cos^2 2x = 3 \sin^2 2x \Rightarrow \text{tg}^2 2x = \frac{1}{3}$. $2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. **Ответ: $\pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$** ### 3. Стереометрическая задача (без координат) В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ проведем плоскость через $A$ и $BC_1$. Точка $A$ не лежит на прямой $BC_1$. Искомое расстояние $h$ — это высота треугольника $ABC_1$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC_1$. Стороны треугольника $ABC_1$: 1. $AB = 6$. 2. $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. 3. $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Треугольник $ABC_1$ — равнобедренный с основанием $BC_1 = 10$ и боковыми сторонами $10$ и $6$ (здесь $AB=6, AC_1=10$ — ошибка в логике, пересчет: $AC_1$ гипотенуза грани $ACC_1A_1$). Верно: $AB=6, AC_1=10, BC_1=10$. Высота $h$ к стороне $BC_1$: $h^2 = AB^2 - (BC_1/2)^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$. $h = \sqrt{11}$. **Ответ: $\sqrt{11}$** ### 4. Усложнённая стереометрическая задача В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Нужно найти расстояние от $C$ до прямой $F_1E_1$. Прямая $F_1E_1$ параллельна $FE$ и лежит в плоскости верхнего основания. $C$ лежит в нижнем основании. Проекция прямой $F_1E_1$ на плоскость нижнего основания — это прямая $FE$. Расстояние от точки $C$ до прямой $FE$ — это высота в трапеции $CDEF$. В правильном шестиугольнике расстояние от $C$ до $FE$ равно $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Расстояние между плоскостями оснований (высота призмы) $h = 1$. Расстояние от $C$ до прямой $F_1E_1$ равно $\sqrt{(\text{расстояние от C до FE})^2 + h^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. **Ответ: 2** ### 5. Теоретический вопрос 1. $\sin x = a$: если $|a| > 1$, решений нет. Если $|a| \le 1$, то $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2. $\cos x = a$: если $|a| > 1$, решений нет. Если $|a| \le 1$, то $x = \pm \arccos a + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 3. $\text{tg} x = a$: $x = \text{arctg} a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.