1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке O, ∠ABO = 36°.

Привет! Давай разберем твою итоговую работу по геометрии. ### 1. Диагонали прямоугольника В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $\triangle ABO$ — равнобедренный ($OA=OB$). Тогда $\angle OAB = \angle ABO = 36^\circ$. Угол $\angle AOB = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ смежные. $\angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. **Ответ:** $72^\circ$. ### 2. Углы трапеции Пусть один угол $x$, тогда второй $x + 30^\circ$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$: $x + x + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2x = 150^\circ \Rightarrow x = 75^\circ$. Углы трапеции: $75^\circ$, $105^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$. **Ответ:** $75^\circ$ и $105^\circ$. ### 3. Треугольник ABC По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см. 1) $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{25} = 0,8$. 2) $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1,33$. **Ответ:** $0,8$ и $1,33$. ### 4. Ромб Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей: $6$ см и $8$ см. Сторона ромба $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ см. Периметр $P = 4 \cdot 10 = 40$ см. **Ответ:** $40$ см. ### 5. Подобие треугольников $\triangle KMO \sim \triangle NEO$ по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых $KM \parallel NE$ и вертикальные углы при $O$). Коэффициент подобия $k = \frac{MO}{ON} = \frac{12}{6} = 2$. Тогда $KM = NE \cdot 2 = 18 \cdot 2 = 36$ см. **Ответ:** $36$ см. ### 6. Касательные Пусть $P$ — точка пересечения касательных. $\triangle OAPB$ имеет углы $90^\circ$ (радиус в точку касания), тогда $\angle AOB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. $\triangle AOB$ равнобедренный, поэтому $\angle ABO = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$. **Ответ:** $36^\circ$. ### 7. Площадь параллелограмма $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) = 60 \cdot 0,5 = 30$ см$^2$. **Ответ:** $30$ см$^2$.