Найти производную: 1) y = (x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3) / x^3, 2) y = (6x * куб. корень из x) / корень из x, 3) y = (3x^2 - 2x + 1) / (x + 1), 4) y = x^3 - x^2/2 + x; x0 = 1/3

Привет! Давай разберем эти задачи на производные. Будем использовать правила дифференцирования. ### 1) $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$ Сначала упростим выражение, разделив каждое слагаемое на $x^3$: $y = \frac{x^5}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{3}{x^3} = x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3}$ Теперь найдем производную: $y' = 2x - 0 + 2 \cdot (-1)x^{-2} - (-2)x^{-3} + 3 \cdot (-3)x^{-4} = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$ ### 2) $y = \frac{6x \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$ Упростим выражение через степени: $y = \frac{6x^1 \cdot x^{1/3}}{x^{1/2}} = 6 \cdot x^{1 + 1/3 - 1/2} = 6 \cdot x^{(6+2-3)/6} = 6x^{5/6}$ Дифференцируем: $y' = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{5/6 - 1} = 5x^{-1/6} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$ ### 3) $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$ Используем формулу производной частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $u = 3x^2 - 2x + 1, u' = 6x - 2$ $v = x + 1, v' = 1$ $y' = \frac{(6x - 2)(x + 1) - (3x^2 - 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$ $y' = \frac{6x^2 + 6x - 2x - 2 - 3x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2}$ ### 4) $y = x^3 - \frac{x^2}{2} + x; x_0 = \frac{1}{3}$ Допущение: нужно найти значение производной в точке $x_0 = 1/3$. Сначала найдем общую производную: $y' = 3x^2 - \frac{2x}{2} + 1 = 3x^2 - x + 1$ Теперь подставим $x = 1/3$: $y'(1/3) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1 = 1$ **Ответ:** 1) $2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$ 2) $\frac{5}{\sqrt[6]{x}}$ 3) $\frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2}$ 4) $1$