Найти одну из первообразных функции (988—990).

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для функции $f(x)$ используем правило: если $f(x) = x^n$, то $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Также используем табличные интегралы для тригонометрических и показательных функций. ### Задание 988 1) $f(x) = 2x^5 - 3x^2 \Rightarrow F(x) = 2 \cdot \frac{x^6}{6} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^6}{3} - x^3$ 2) $f(x) = 5x^4 + 2x^3 \Rightarrow F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 2 \cdot \frac{x^4}{4} = x^5 + 0.5x^4$ 3) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} = 2x^{-1} + 3x^{-2} \Rightarrow F(x) = 2\ln|x| - \frac{3}{x}$ 4) $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x} = 2x^{-3} - 3x^{-1} \Rightarrow F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 3\ln|x| = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x|$ 5) $f(x) = 6x^2 - 4x + 3 \Rightarrow F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x = 2x^3 - 2x^2 + 3x$ 6) $f(x) = 4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} = 4x^{1/3} - 6x^{1/2} \Rightarrow F(x) = 4 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3x\sqrt[3]{x} - 4x\sqrt{x}$ ### Задание 989 1) $3\cos x - 4\sin x \Rightarrow 3\sin x + 4\cos x$ 2) $5\sin x + 2\cos x \Rightarrow -5\cos x + 2\sin x$ 3) $e^x - 2\cos x \Rightarrow e^x - 2\sin x$ 4) $3e^x - \sin x \Rightarrow 3e^x + \cos x$ 5) $5 - e^{-x} + 3\cos x \Rightarrow 5x + e^{-x} + 3\sin x$ 6) $1 + 3e^x - 4\cos x \Rightarrow x + 3e^x - 4\sin x$ 7) $6\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3e^x \Rightarrow 6 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 2\ln|x| + 3e^x = 4.5x\sqrt[3]{x} - 2\ln|x| + 3e^x$ 8) $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^{-x} = 4x^{-1/2} + 3x^{-1} - 2e^{-x} \Rightarrow 8\sqrt{x} + 3\ln|x| + 2e^{-x}$ ### Задание 990 Для функций вида $(ax+b)^n$ первообразная равна $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$. 1) $(x+1)^4 \Rightarrow \frac{(x+1)^5}{5}$ 2) $(x-2)^3 \Rightarrow \frac{(x-2)^4}{4}$ 3) $\frac{2}{\sqrt{x-2}} = 2(x-2)^{-1/2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{(x-2)^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x-2}$ 4) $\frac{3}{\sqrt[3]{x+3}} = 3(x+3)^{-1/3} \Rightarrow 3 \cdot \frac{(x+3)^{2/3}}{2/3} = 4.5\sqrt[3]{(x+3)^2}$ 5) $\frac{1}{x-1} + 4\cos(x+2) \Rightarrow \ln|x-1| + 4\sin(x+2)$ 6) $\frac{3}{x-3} - 2\sin(x-1) \Rightarrow 3\ln|x-3| + 2\cos(x-1)$