Показать, что функция F (x) является первообразной функции f (x) на всей числовой прямой:

Question

Вопрос:

Показать, что функция F (x) является первообразной функции f (x) на всей числовой прямой:

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$. **№ 983** 1) $F(x) = \frac{x^6}{6}$. $F'(x) = (\frac{x^6}{6})' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = x^5$. Так как $F'(x) = f(x)$, $F(x)$ — первообразная. 2) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$. $F'(x) = (\frac{x^5}{5} + 1)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + 0 = x^4$. Так как $F'(x) = f(x)$, $F(x)$ — первообразная. **№ 984** 1) $F(x) = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$. $F'(x) = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$. Так как $F'(x) = f(x)$, $F(x)$ — первообразная. 2) $F(x) = 1 + \sqrt{x} = 1 + x^{1/2}$. $F'(x) = 0 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Так как $F'(x) = f(x)$, $F(x)$ — первообразная. **№ 985** Формула для нахождения первообразной функции $f(x) = x^n$ при $n \neq -1$ имеет вид $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. 1) $f(x) = x^4 \implies F(x) = \frac{x^5}{5} + C$ 2) $f(x) = x^3 \implies F(x) = \frac{x^4}{4} + C$ 3) $f(x) = x^{-3} \implies F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$ 4) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} \implies F(x) = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$

Показать, что функция F (x) является первообразной функции f (x) на всей числовой прямой:

Ответ ассистента

Другие решения