исследовать на сходимость ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n n!}.

Для исследования ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда: $a_n = \frac{n^n}{3^n n!}$. Найдем предел отношения $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$: $a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{3^n n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{3 \cdot 3^n (n+1) n!} \cdot \frac{3^n n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{3 n^n} = \frac{1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ Найдем предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{3} e$ Так как $e \approx 2,718$, то $\frac{e}{3} < 1$. Поскольку предел меньше 1, ряд сходится. **Ответ:** Ряд сходится.