354. а) y = x^3 + 1, y = 0, x = 0, x = 2;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, используем определенный интеграл: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$. а) $y = x^3 + 1, y = 0, x = 0, x = 2$ $S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx = [\frac{x^4}{4} + x]_{0}^{2} = (\frac{16}{4} + 2) - 0 = 4 + 2 = 6$. б) $y = 1 + 2 \sin x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2}$ $S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + 2 \sin x) dx = [x - 2 \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - 2 \cos \frac{\pi}{2}) - (0 - 2 \cos 0) = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 2) = \frac{\pi}{2} + 2$. в) $y = 4 - x^2, y = 0$ Фигура ограничена параболой и осью $Ox$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Это пределы интегрирования. $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - (-\frac{8}{3})) = (8 - 2.66...) - (-8 + 2.66...) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. г) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}$ $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1}{2} \cos x) dx = [x + \frac{1}{2} \sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}) - (-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) = \pi + 1$.