32. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2, а высота равна sqrt(2). Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.

32. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $a=2$, высота $h=\sqrt{2}$. Угол между плоскостями $ABC$ (плоскость основания) и $A_1BC$ — это линейный угол двугранного угла. Проведем $BH \perp A_1C$ в грани $BCC_1B_1$ или найдем проекцию. Проще: высота призмы $AA_1 = \sqrt{2}$, сторона основания $AB=BC=2$. Пусть $\alpha$ — искомый угол. В треугольнике $A_1BC$ сторона $BC=2$, $A_1B = \sqrt{A_1A^2 + AB^2} = \sqrt{2+4} = \sqrt{6}$. Высота $h$ из вершины $B$ к $A_1C$ в треугольнике $A_1BC$ (или рассмотрение проекции). Тангенс угла равен отношению высоты призмы к стороне основания: $\tan \alpha = \frac{AA_1}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Угол $\alpha = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$. 33. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $a=2$, высота $h=3$. Плоскость $ABC$ — основание. Плоскость $A_1BC$ наклонена к основанию. Высота пирамиды (или призмы) $A_1H$ опускается в $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AH$ — высота основания, $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Искомый угол $\alpha$ находится из треугольника $A_1HA$, где $\angle A_1AH = 90^\circ$. $\tan \alpha = \frac{A_1A}{AH} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\alpha = 60^\circ$. 34. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $a=6$, боковое ребро $l=\sqrt{21}$. Найдем высоту $SO$. Диагональ основания $AC = 6\sqrt{2}$, $AO = 3\sqrt{2}$. Высота $SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{21 - 18} = \sqrt{3}$. Апофема грани $SAB$ (высота к $AB$) $SK$. $K$ — середина $AB$, $OK = a/2 = 3$. В треугольнике $SOK$ угол между $SAB$ и $ABC$ — это $\angle SKO$. $\tan \angle SKO = \frac{SO}{OK} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол $30^\circ$. 35. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $a=6$, боковое ребро $l=\sqrt{21}$. Высота $SO$ падает в центр основания $O$. $AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. Высота $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3$. Апофема $SK$ к стороне $AB$ (где $K$ — середина $AB$). В правильном треугольнике $OK = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$. Искомый угол $\angle SKO$: $\tan \angle SKO = \frac{SO}{OK} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Угол $60^\circ$.