1. Вычислите значение выражения 12^5 / (4^-0.5 * (1/36)^-3)

Давай разберем задания из твоего варианта. 1. Вычислите значение выражения $\frac{12^5}{4^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{36})^{-3}}$ $\frac{12^5}{4^{-0,5} \cdot (36^3)} = \frac{(3 \cdot 4)^5}{4^{-0,5} \cdot (6^2)^3} = \frac{3^5 \cdot 4^5}{4^{-0,5} \cdot 6^6} = \frac{3^5 \cdot (2^2)^5}{2^{-1} \cdot (2 \cdot 3)^6} = \frac{3^5 \cdot 2^{10}}{2^{-1} \cdot 2^6 \cdot 3^6} = \frac{3^5 \cdot 2^{10}}{2^5 \cdot 3^6} = \frac{2^{10-5}}{3^{6-5}} = \frac{2^5}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. 2. Решите уравнение $4^{-5-7x} = 16$ $4^{-5-7x} = 4^2$ $-5-7x = 2$ $-7x = 7$ $x = -1$. 3. Упростите выражение $3^{\log_3 \sqrt{8} + 1}$ $3^{\log_3 \sqrt{8}} \cdot 3^1 = \sqrt{8} \cdot 3 = 2\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}$. 4. Найдите первообразную функции $f(x) = 3x - 3x^2$, график которой проходит через точку $A(-1; 2)$ $F(x) = \int (3x - 3x^2) dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 1,5x^2 - x^3 + C$. Подставим координаты точки $A(-1; 2)$: $2 = 1,5(-1)^2 - (-1)^3 + C$ $2 = 1,5 + 1 + C$ $C = 2 - 2,5 = -0,5$. Ответ: $F(x) = 1,5x^2 - x^3 - 0,5$. 5. Решите уравнение $\sqrt{x + 1} = x - 5$ Возведем в квадрат (при условии $x - 5 \geq 0$, т.е. $x \geq 5$): $x + 1 = (x - 5)^2$ $x + 1 = x^2 - 10x + 25$ $x^2 - 11x + 24 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = 8$, $x_2 = 3$. Проверка: $x = 3$ не подходит ($3 \geq 5$ ложно), $x = 8$ подходит. Ответ: $8$. 6. Решите неравенство $\log_{\frac{9}{16}} (1 - 0,2x) < \frac{1}{2}$ ОДЗ: $1 - 0,2x > 0 \Rightarrow 0,2x < 1 \Rightarrow x < 5$. Так как основание логарифма $0 < \frac{9}{16} < 1$, знак неравенства меняется: $1 - 0,2x > (\frac{9}{16})^{0,5}$ $1 - 0,2x > \frac{3}{4}$ $1 - 0,75 > 0,2x$ $0,25 > 0,2x$ $x < 1,25$. С учетом ОДЗ: $x < 1,25$. 7. Найдите область определения функции $y = \sqrt{(\frac{5}{7})^{2x-4} - \frac{7}{5}}$ $(\frac{5}{7})^{2x-4} - \frac{7}{5} \geq 0$ $(\frac{5}{7})^{2x-4} \geq (\frac{5}{7})^{-1}$ Так как основание $< 1$, знак меняем: $2x - 4 \leq -1$ $2x \leq 3$ $x \leq 1,5$. 8. Найдите значение $f'(1)$, если $f(x) = \frac{1-2x}{5x+2}$ $f'(x) = \frac{(1-2x)'(5x+2) - (1-2x)(5x+2)'}{(5x+2)^2}$ $f'(x) = \frac{-2(5x+2) - (1-2x)(5)}{(5x+2)^2} = \frac{-10x - 4 - 5 + 10x}{(5x+2)^2} = \frac{-9}{(5x+2)^2}$. $f'(1) = \frac{-9}{(5(1)+2)^2} = \frac{-9}{7^2} = -\frac{9}{49}$.