Задание 4. Решить логарифмические уравнения.

Привет! Давай разберем эти логарифмические уравнения. Везде будем использовать свойства логарифмов и область допустимых значений (ОДЗ). 1) $\log_2(x+8) = \log_2 3 + \log_2 5$ Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$. $\log_2(x+8) = \log_2(3 \cdot 5)$ $\log_2(x+8) = \log_2 15$ $x+8 = 15 \implies x = 7$. Проверка: $7+8=15 > 0$, подходит. **Ответ: 7.** 2) $\log_{0,1}(3x-1) = 1$ По определению логарифма: $3x-1 = 0,1^1$. $3x-1 = 0,1$ $3x = 1,1$ $x = \frac{1,1}{3} = \frac{11}{30}$. Проверка: $3 \cdot (\frac{11}{30}) - 1 = 1,1 - 1 = 0,1 > 0$, подходит. **Ответ: 11/30.** 3) $\log_2(x+1) = \log_2(3x-7)$ (предполагаю опечатку в условии, так как запись $\log_2(3x) 7$ не имеет смысла, решаю логичный вариант). $x+1 = 3x-7$ $1+7 = 3x-x$ $8 = 2x \implies x = 4$. Проверка: $x+1=5 > 0$ и $3x-7=5 > 0$, подходит. **Ответ: 4.** 4) $\log_5(2x+1) - \log_5 x = 0$ $\log_5(2x+1) = \log_5 x$ $2x+1 = x$ $x = -1$. Проверка: при $x=-1$ выражение под знаком логарифма $x$ становится отрицательным ($-1 < 0$), что недопустимо. **Ответ: корней нет.** 5) $\log_2(x-1) = -1$ $x-1 = 2^{-1}$ $x-1 = 0,5$ $x = 1,5$. Проверка: $1,5-1=0,5 > 0$, подходит. **Ответ: 1,5.** 6) $7^{\log_4 x} \cdot 2^{\log_4 x} = 196$ Используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(7 \cdot 2)^{\log_4 x} = 196$ $14^{\log_4 x} = 196$ Так как $196 = 14^2$, то: $14^{\log_4 x} = 14^2$ $\log_4 x = 2$ $x = 4^2 = 16$. **Ответ: 16.**