10. а) Решите уравнение: sin 2x + cos 2x + √2 sin (3π/2 - x) - √2 sin x + 1 = 0.

Давай решим уравнение: $\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2} \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - \sqrt{2} \sin x + 1 = 0$. 1. Используем формулы приведения и тригонометрические формулы: - $\sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$ - $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ - $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ Подставим всё в уравнение: $2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}(-\cos x) - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$ 2. Упростим: $2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$ Группируем слагаемые: $(2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x) + (2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x) = 0$ $\sin x(2\cos x - \sqrt{2}) + \cos x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$ $(2\cos x - \sqrt{2})(\sin x + \cos x) = 0$ 3. Получаем два случая: а) $2\cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $\sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \sin x = -\cos x$. Разделим на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$): $\operatorname{tg} x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 4. Найдем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$: - Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=1$ $x = \frac{9\pi}{4} = 2.25\pi$ (подходит, $1.5\pi \le 2.25\pi \le 3\pi$). - Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=1$ $x = \frac{7\pi}{4} = 1.75\pi$ (подходит, $1.5\pi \le 1.75\pi \le 3\pi$). - Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$): - $k=1: x = \frac{3\pi}{4} = 0.75\pi$ (не подходит) - $k=2: x = \frac{7\pi}{4}$ (уже нашли) - $k=3: x = \frac{11\pi}{4} = 2.75\pi$ (подходит, $1.5\pi \le 2.75\pi \le 3\pi$). Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi k$; б) $\frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.