Экзаменационный билет № 17

1. Решение уравнений: а) $\sqrt{3x+1} = x-3$. Возведем в квадрат: $3x+1 = x^2 - 6x + 9$. Получим $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1=1$, $x_2=8$. Проверка: при $x=1$ $\sqrt{4} = 1-3 \Rightarrow 2 = -2$ (неверно); при $x=8$ $\sqrt{25} = 8-3 \Rightarrow 5 = 5$ (верно). Ответ: 8. б) $\sqrt{x-1} = 2$. Возведем в квадрат: $x-1 = 4$, откуда $x=5$. 2. $\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 0$. Разделим на $\cos 2x$: $\sqrt{3} \tan 2x + 1 = 0 \Rightarrow \tan 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. 3. Ряд: 18, 20, 19, 21, 20, 22, 20, 17, 23, 20. Упорядоченный: 17, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 23. а) Размах: $23 - 17 = 6$. б) Мода: число, встречающееся чаще всего — 20. 4. Производные: а) $f(x) = \sin 3x + \text{ctg } 4x \Rightarrow f'(x) = 3\cos 3x - \frac{4}{\sin^2 4x}$. б) $f(x) = 2x-7 \Rightarrow f'(x) = 2$. 5. $V = a^3 = 216 \Rightarrow a = \sqrt[3]{216} = 6$ см. Площадь поверхности куба: $S = 6a^2 = 6 \cdot 6^2 = 216$ см$^2$. 6. $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Если радиус увеличится в 2 раза ($R_1 = 2R$), то $V_1 = \frac{4}{3}\pi (2R)^3 = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) = 8V$. Объем увеличится в 8 раз. 7. Перестановка 6 различных учебников: $P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$ способов. 8. Первообразные: а) $f(x) = 3x^2 - e^{2x} \Rightarrow F(x) = x^3 - \frac{1}{2}e^{2x} + C$. б) $f(x) = -\sin x \Rightarrow F(x) = \cos x + C$.