23. Тип 23 № 315053. В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

### Решение задачи 23 1. Найдём угол $B$ в треугольнике $ABC$: $\angle B = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ$. 2. Биссектриса $BD$ делит угол $B$ пополам, значит, $\angle ABD = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $BH$ — высота): $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. 4. Угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$ равен: $\angle DBH = |\angle ABH - \angle ABD| = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ$. **Ответ: 10°** ### Решение задачи 24 1. Рассмотрим треугольники $AEC$ и $BED$. 2. Так как $E$ — середина $AB$, то $AE = EB$. 3. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Однако нам дано $EC = ED$ и $E$ — середина $AB$. 4. Из равенства треугольников или свойств параллелограмма следует, что если $E$ — середина $AB$ и $EC=ED$, то треугольник $ABC$ и $ABD$ симметричны относительно перпендикуляра к $AB$ или можно доказать через признаки прямоугольника: в параллелограмме диагонали или углы должны соответствовать свойствам прямоугольника (равенство углов 90 градусов). 5. Так как $E$ равноудалена от вершин $C$ и $D$, и $E$ — середина $AB$, это возможно только если $AB$ перпендикулярна $BC$ и $AD$, что делает все углы равными $90^\circ$. Следовательно, это прямоугольник. ### Решение задачи 25 1. Пусть $R = 99$, $r = 33$. Расстояние между центрами окружностей $O_1O_2 = R + r = 99 + 33 = 132$. 2. Общая внешняя касательная $AB$ и $CD$ — это линии, соединяющие точки касания. Длина общей внешней касательной $L = \sqrt{O_1O_2^2 - (R - r)^2}$. 3. $L = \sqrt{132^2 - (99 - 33)^2} = \sqrt{132^2 - 66^2}$. 4. Используя разность квадратов: $\sqrt{(132-66)(132+66)} = \sqrt{66 \cdot 198} = \sqrt{66 \cdot 66 \cdot 3} = 66\sqrt{3}$. 5. Расстояние между параллельными прямыми (касательными) равно длине касательной, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны им. **Ответ: 66√3**