Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0,05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья.

Для решения задачи воспользуемся критерием Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. ### 1. Вычисление средних значений **Старая технология ($X$):** $n_1 = 9$ $\bar{x} = \frac{303 \cdot 1 + 307 \cdot 4 + 308 \cdot 4}{9} = \frac{303 + 1228 + 1232}{9} = \frac{2763}{9} = 307$ **Новая технология ($Y$):** $n_2 = 13$ $\bar{y} = \frac{303 \cdot 2 + 304 \cdot 6 + 306 \cdot 4 + 308 \cdot 1}{13} = \frac{606 + 1824 + 1224 + 308}{13} = \frac{3962}{13} \approx 304,77$ ### 2. Вычисление дисперсий Выборочная дисперсия: $s^2 = \frac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ Для $X$: $s_x^2 = \frac{1(303-307)^2 + 4(307-307)^2 + 4(308-307)^2}{9-1} = \frac{16 + 0 + 4}{8} = 2,5$ Для $Y$: $s_y^2 = \frac{2(303-304,77)^2 + 6(304-304,77)^2 + 4(306-304,77)^2 + 1(308-304,77)^2}{13-1} = \frac{6,26 + 3,56 + 6,05 + 10,43}{12} = \frac{26,3}{12} \approx 2,19$ ### 3. Объединенная оценка дисперсии $s^2 = \frac{(n_1-1)s_x^2 + (n_2-1)s_y^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{8 \cdot 2,5 + 12 \cdot 2,19}{9 + 13 - 2} = \frac{20 + 26,28}{20} = \frac{46,28}{20} = 2,314$ $s = \sqrt{2,314} \approx 1,52$ ### 4. Расчет критерия Стьюдента ($t_{набл}$) $t_{набл} = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{s \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = \frac{307 - 304,77}{1,52 \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{13}}} = \frac{2,23}{1,52 \cdot \sqrt{0,111 + 0,077}} = \frac{2,23}{1,52 \cdot 0,433} = \frac{2,23}{0,658} \approx 3,39$ ### 5. Вывод Степени свободы: $df = 9 + 13 - 2 = 20$. Табличное значение $t_{крит}$ для $\alpha = 0,05$ и $df = 20$ равно $2,086$. Так как $t_{набл} (3,39) > t_{крит} (2,086)$, гипотеза о равенстве средних отвергается. Новая технология действительно дает экономию в среднем расходе сырья.