$\frac{x^2+4x-5}{\log_3(0.2 \cdot 5^x)} \ge 0$

Для решения неравенства $\frac{x^2+4x-5}{\log_3(0.2 \cdot 5^x)} \ge 0$ выполним следующие шаги: 1. Преобразуем числитель: $x^2+4x-5 = (x+5)(x-1)$. 2. Преобразуем знаменатель: $\log_3(0.2 \cdot 5^x) = \log_3(5^{-1} \cdot 5^x) = \log_3(5^{x-1})$. По свойствам логарифма: $\log_3(5^{x-1}) = (x-1) \cdot \log_3 5$. 3. Перепишем неравенство: $\frac{(x+5)(x-1)}{(x-1)\log_3 5} \ge 0$. 4. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель не равен 0: $(x-1)\log_3 5 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$. Аргумент логарифма должен быть больше 0: $0.2 \cdot 5^x > 0$, что верно при любых $x$. Итак, $x \neq 1$. 5. Сократим на $(x-1)$ и $\log_3 5$ (так как $\log_3 5 > 0$): $\frac{x+5}{1} \ge 0$, при условии $x \neq 1$. $x + 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$. 6. С учетом ОДЗ ($x \neq 1$), получаем промежутки: $x \in [-5; 1) \cup (1; +\infty)$. **Ответ: $x \in [-5; 1) \cup (1; +\infty)$.**