Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Для нахождения площади заштрихованной фигуры воспользуемся определенным интегралом. Сначала найдем точки пересечения графиков функций $y = 2x$ и $y = (x - 4)^2$: $2x = (x - 4)^2$ $2x = x^2 - 8x + 16$ $x^2 - 10x + 16 = 0$ Найдем корни уравнения через дискриминант или теорему Виета: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$ $x_1 = \frac{10 - 6}{2} = 2$ $x_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8$ На графике видно, что область ограничена слева точкой $x=0$ (начало координат), а справа — точкой пересечения графиков $x=2$. Однако, внимательно посмотрев на график: область ограничена снизу осью $x$ (от $x=2$ до $x=4$) и параболой (от $x=2$ до $x=4$), а сверху прямой $y=2x$ (от $x=0$ до $x=2$). Разделим область на две части: 1. От $x=0$ до $x=2$: площадь под прямой $y=2x$. 2. От $x=2$ до $x=4$: площадь под параболой $y=(x-4)^2$. $S = \int_{0}^{2} 2x dx + \int_{2}^{4} (x - 4)^2 dx$ Вычислим интегралы: 1) $\int_{0}^{2} 2x dx = [x^2]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4$ 2) $\int_{2}^{4} (x - 4)^2 dx$. Сделаем замену $t = x - 4, dt = dx$. Пределы: при $x=2, t=-2$; при $x=4, t=0$. $\int_{-2}^{0} t^2 dt = [\frac{t^3}{3}]_{-2}^{0} = 0 - (\frac{-8}{3}) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ Итоговая площадь: $S = 4 + \frac{8}{3} = \frac{12 + 8}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6{,}67$. **Ответ: 6\frac{2}{3}**