Если первая производная на промежутке меньше нуля, то функция: а) возрастает б) убывает в) выпуклая верх

Привет! Давай разберем твои задания по производным. 1. Если первая производная на промежутке меньше нуля, то функция **б) убывает**. 2. Найдем экстремумы функции $f(x) = 4x^2 + 16x - 1$. $f'(x) = 8x + 16$. Приравняем к нулю: $8x + 16 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это точка минимума. Значение функции $f(-2) = 4(-2)^2 + 16(-2) - 1 = 16 - 32 - 1 = -17$. Точка экстремума: $(-2; -17)$. 3. Верно (физический смысл производной пути — скорость). 4. Операция вычисления производной называется **дифференцированием**. 5. $f(x) = x^2 - 2x$. Вычислим производную в точке $x_0 = 1$. $f'(x) = 2x - 2$. $f'(1) = 2(1) - 2 = 0$. 6. Найдем производную функции $f(x) = 4^x + 14$. $f'(x) = 4^x \cdot \ln 4$. 7. Найдем экстремумы функции $f(x) = 15 + x^2 + 2x$. $f'(x) = 2x + 2$. $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Точка минимума: $f(-1) = 15 + (-1)^2 + 2(-1) = 15 + 1 - 2 = 14$. Точка экстремума: $(-1; 14)$. 8. Выберем коэффициенты $a=1, b=2, c=3$. Тогда $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Производная: $f'(x) = 2x + 2$. 9. Найдем производную функции $f(x) = \frac{4x}{x^2+4}$. Используем формулу производной частного $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $f'(x) = \frac{4(x^2+4) - 4x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{16 - 4x^2}{(x^2+4)^2}$. 10. Найдем промежутки выпуклости $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 12x$. Для выпуклости ищем вторую производную: $f'(x) = 6x^2 + 18x - 12$. $f''(x) = 12x + 18$. Приравняем к нулю: $12x + 18 = 0 \Rightarrow x = -1.5$. Методом интервалов: при $x < -1.5$ вторая производная отрицательна (выпукла вверх), при $x > -1.5$ положительна (выпукла вниз).