Андрей записал набор из 25-ти натуральных чисел, которые удовлетворяли следующим условиям: все числа были больше 4, но их значение не превышало 46, среднее арифметическое данных чисел равнялось 13.

Дано: 25 чисел, каждое $x_i \in [5, 46]$, среднее арифметическое равно 13. Сумма всех чисел: $S = 25 \times 13 = 325$. Во втором наборе каждое число поделили на 2 ($x_i/2$), затем вычеркнули числа меньше 3. Это значит, что числа $x_i$, для которых $x_i/2 < 3$ (т.е. $x_i < 6$), были удалены. Так как по условию все числа $x_i > 4$ (натуральные, значит $x_i \ge 5$), вычеркнуты были только те числа, которые были равны 5. Пусть $k$ — количество пятерок. Тогда сумма оставшихся чисел во втором наборе: $S_{new} = \frac{325 - 5k}{2} = 162.5 - 2.5k$. Количество оставшихся чисел: $n = 25 - k$. Среднее арифметическое второго набора: $A = \frac{162.5 - 2.5k}{25 - k}$. а) Чтобы $A > 20$, нужно $\frac{162.5 - 2.5k}{25 - k} > 20$. $162.5 - 2.5k > 500 - 20k \Rightarrow 17.5k > 337.5 \Rightarrow k > 19.28$. Так как $k$ — количество чисел, $k$ может быть 20, 21, 22, 23, 24. Но если $k=24$, то сумма оставшихся чисел $325 - 5 \times 24 = 325 - 120 = 205$. Оставшееся число (1 шт) равно 205, что больше 46 (противоречие). При $k=20$, сумма оставшихся чисел: $325 - 100 = 225$, количество чисел $25-20=5$. $225/5 = 45 \le 46$ (подходит). Значит, $A$ может быть больше 20. **Ответ: Да.** б) Нужно $17 < \frac{162.5 - 2.5k}{25 - k} < 18$. $17(25-k) < 162.5 - 2.5k < 18(25-k)$ $425 - 17k < 162.5 - 2.5k \Rightarrow 262.5 < 14.5k \Rightarrow k > 18.1$ $162.5 - 2.5k < 450 - 18k \Rightarrow 15.5k < 287.5 \Rightarrow k < 18.54$ Значит, $k$ должно быть 18. При $k=18$: $A = \frac{162.5 - 45}{7} = \frac{117.5}{7} \approx 16.78$. Это меньше 17. Нет целого $k$, удовлетворяющего условию. **Ответ: Нет.** в) Максимальное среднее достигается при максимально возможном $k$, при котором оставшиеся числа не превышают 46. Максимально допустимое $k=20$ (как проверено выше, дает среднее 45). Для $k=21$, $S_{rem} = 325 - 105 = 220$, $n=4$, $A = 220/4 = 55 > 46$ (невозможно). **Ответ: 45.**