Точки K, L и M лежат на поверхности сферы так, что KL = LM = 8 см, ∠KLM = 120°. Найдите площадь поверхности сферы, если известно, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника KLM равно 5 см.

Решим задачи по очереди. ### Решение задачи №3 1. Найдем радиус окружности $r$, описанной около $\triangle KLM$. В треугольнике $KLM$ стороны $KL = LM = 8$, угол $\angle KLM = 120^\circ$. По теореме косинусов найдем сторону $KM$: $KM^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 64 + 64 - 128 \cdot (-0.5) = 128 + 64 = 192$. $KM = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности $r$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ равен $R = \frac{abc}{4S}$. Площадь $\triangle KLM = 0.5 \cdot KL \cdot LM \cdot \sin(120^\circ) = 0.5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$. $r = \frac{8 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3}}{4 \cdot 16\sqrt{3}} = \frac{512\sqrt{3}}{64\sqrt{3}} = 8$ см. 2. Пусть $R$ — радиус сферы, $d = 5$ см — расстояние от центра до плоскости треугольника. По теореме Пифагора для сферы: $R^2 = r^2 + d^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$. 3. Площадь поверхности сферы $S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 89 = 356\pi$ см$^2$. **Ответ:** $356\pi$ см$^2$. ### Решение задачи №4 1. Диаметр шара $D = 1$ дм = 10 см, значит, радиус $R = 5$ см. 2. Объем большого шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{500\pi}{3}$ см$^3$. 3. Этот объем разделили на 8 равных шариков радиусом $r$: $8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{500\pi}{3}$. $32 r^3 = 500$. $r^3 = \frac{500}{32} = 15.625$. $r = \sqrt[3]{15.625} = 2.5$ см. **Ответ:** 2,5 см. ### Решение задачи №5 1. Пусть из точки $A$ на сфере проведены три перпендикулярные хорды $AB=4, AC=4, AD=7$. Эти хорды образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является диаметр сферы $2R$. 2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон: $(2R)^2 = AB^2 + AC^2 + AD^2$. $4R^2 = 4^2 + 4^2 + 7^2 = 16 + 16 + 49 = 81$. $R^2 = \frac{81}{4} = 20.25$, значит, $R = 4.5$ см. 3. Объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (4.5)^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 91.125 = 121.5\pi$ см$^3$. **Ответ:** $121.5\pi$ см$^3$.