Вычислите предел lim (sqrt(x)-3-2)/(x-1)

Давай разберем задачи из билета №8 по математике. ### 1. Вычисление предела Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-3-2}{x-1}$ (похоже, в условии опечатка, вероятно, имеется в виду $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ или $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$, но если решать буквально $\frac{\sqrt{x}-3-2}{x-1} = \frac{\sqrt{x}-5}{x-1}$, то при $x \to 1$ получаем $\frac{-4}{0} = \infty$). Однако, скорее всего, условие $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$: $$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{2+2} = 0,25$$ ### 2. Нахождение производной Дана функция $y = 3^{2x}$. Это показательная функция. Производная $a^u$ равна $a^u \cdot \ln a \cdot u'$. $$y' = (3^{2x})' = 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot (2x)' = 2 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3$$ ### 3. Решение дифференциального уравнения Уравнение: $(x-1)dy = (y+1)dx$. Это уравнение с разделяющимися переменными. $$\frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x-1}$$ Интегрируем обе части: $$\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x-1} \Rightarrow \ln|y+1| = \ln|x-1| + C$$ $$y+1 = k(x-1) \Rightarrow y = k(x-1) - 1$$ Подставим условие $y=3$ при $x=2$: $$3 = k(2-1) - 1 \Rightarrow 3 = k - 1 \Rightarrow k = 4$$ Ответ: $y = 4(x-1) - 1 = 4x - 5$. ### 4. Статистические показатели Распределение: | x | 4,3 | 5,1 | 10,6 | |---|---|---|---| | p | 0,2 | 0,3 | 0,5 | * **Математическое ожидание $M(X)$:** $$M(X) = 4,3 \cdot 0,2 + 5,1 \cdot 0,3 + 10,6 \cdot 0,5 = 0,86 + 1,53 + 5,3 = 7,69$$ * **Дисперсия $D(X)$:** $$M(X^2) = 4,3^2 \cdot 0,2 + 5,1^2 \cdot 0,3 + 10,6^2 \cdot 0,5 = 18,49 \cdot 0,2 + 26,01 \cdot 0,3 + 112,36 \cdot 0,5 = 3,698 + 7,803 + 56,18 = 67,681$$ $$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 67,681 - 7,69^2 = 67,681 - 59,1361 = 8,5449$$ * **Среднее квадратичное отклонение $\sigma$:** $$\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8,5449} \approx 2,923$$ ### 5. Таблица основных интегралов Обычно это справочный материал, который нужно просто знать наизусть (например, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $\int e^x dx = e^x + C$ и т.д.).